Спонтанное и вынужденное излучение и лазеры

Атом имеет дискретные энергетические уровни; переход между уровнями $E_2$ и $E_1$ сопровождается поглощением или испусканием фотона с энергией

$$h\nu=E_2-E_1.$$

При спонтанном излучении возбуждённый атом переходит вниз случайно, без внешнего фотона; испущенный фотон имеет произвольные направление, фазу и поляризацию, поэтому обычный источник света некогерентен. При вынужденном (стимулированном) излучении фотон с энергией $h\nu=E_2-E_1$ заставляет возбуждённый атом перейти вниз и испустить второй фотон той же частоты, направления, фазы и поляризации; эти фотоны когерентны и усиливают друг друга. В тепловом равновесии населённости уровней подчиняются распределению Больцмана

$$\frac{N_2}{N_1}=e^{-(E_2-E_1)/(k_B T)}<1,$$

поэтому поглощение преобладает над вынужденным излучением. Для усиления света нужна инверсия населённостей $N_2>N_1$; её создают накачкой через метастабильный уровень, а оптический резонатор обеспечивает многократное прохождение света и отбор моды. Так работает лазер: вынужденное излучение в инвертированной среде даёт когерентный, монохроматичный и направленный пучок.

Атом переходит с уровня $E_2$ на уровень $E_1$; разность энергий $E_2-E_1=1.96$ эВ. Найдите длину волны испущенного фотона. Используйте $hc=1240$ эВ·нм.

При комнатной температуре $T=300$ K ($k_B T\approx 0.0259$ эВ) оцените равновесное отношение населённостей $N_2/N_1$ для перехода с $E_2-E_1=1.96$ эВ. Может ли такой переход давать лазерное усиление без накачки? Ответ обоснуйте.

Трёхуровневый лазер накачивается с основного уровня 0 на уровень 2 фотонами с энергией 3.0 эВ. Атом быстро безызлучательно переходит на метастабильный уровень 1, лежащий на 1.0 эВ выше уровня 0; вынужденное излучение происходит на переходе $1\to 0$. Вычислите энергию лазерного фотона и долю энергии накачки, преобразованную в лазерный свет; объясните, куда девается остальная энергия и почему четырёхуровневый лазер может иметь меньший порог.

Используйте безопасную интерактивную симуляцию лазера (например, PhET «Lasers» или аналогичную открытую модель). Не работайте с реальными лазерами и не направляйте пучок на людей. Включите накачку и зафиксируйте: (1) выполняется ли инверсия населённостей $N_2>N_1$; (2) становятся ли фотоны когерентными и направленными. Зарисуйте диаграмму энергетических уровней и подпишите спонтанное излучение, вынужденное излучение, поглощение, накачку и резонатор. Сделайте вывод: без инверсии населённостей усиления нет.

Показать различие между спонтанным и вынужденным излучением и роль инверсии населённостей в лазере.

Схема: три энергетических уровня атома; стрелка вверх — поглощение, волнистая стрелка в произвольном направлении — спонтанное излучение, две параллельные стрелки одинакового направления — вынужденное излучение. Рядом график зависимости $N_2/N_1=e^{-(E_2-E_1)/(k_B T)}$ от $T$: при тепловом равновесии кривая лежит ниже единицы, а после накачки отмечена точка $N_2>N_1$ (инверсия).

Дешёвая красная лазерная указка излучает на длине волны $\lambda = 650\ \text{nm}$ при мощности $P = 1{,}0\ \text{mW}$. Энергия одного фотона такой длины волны равна $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}\times 3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s}}{650\cdot10^{-9}\ \text{m}} = 3{,}06\cdot10^{-19}\ \text{J} = 1{,}91\ \text{eV}.$ За одну секунду указка испускает $N = P/E = 1{,}0\cdot10^{-3}/3{,}06\cdot10^{-19} \approx 3{,}3\cdot10^{15}$ фотонов, и практически все они имеют одну и ту же энергию, поэтому луч виден как чисто красный, без примеси других цветов.

Здесь работает вынужденное излучение: фотон, пролетающий мимо возбуждённого атома полупроводника, вызывает испускание второго фотона с той же энергией, фазой и направлением, и число таких копий лавинообразно растёт. Спонтанное излучение даёт самые первые фотоны, которые запускают эту лавину, а ток накачки поддерживает инверсную населённость — превышение числа возбуждённых атомов над невозбуждёнными. Именно одинаковость энергии всех фотонов, равной разности уровней $h\nu = E_2 - E_1$, объясняет монохроматичность луча, а одинаковая фаза — его когерентность.

Тренер измеряет лазерным дальномером расстояние от ворот до точки подачи и получает $L = 100{,}0\ \text{m}$. Свет проходит путь туда и обратно, $2L = 200{,}0\ \text{m}$, за $t = \frac{2L}{c} = \frac{200{,}0}{3{,}00\cdot10^{8}} = 6{,}67\cdot10^{-7}\ \text{s} = 667\ \text{ns},$ поэтому электроника прибора должна отсчитывать интервалы порядка наносекунд. Расходимость луча у такого прибора около $1\ \text{mrad}$, то есть на дистанции $100\ \text{m}$ световое пятно имеет диаметр всего $0{,}10\ \text{m}$ — оно меньше футбольного мяча.

Короткий импульс такой формы возможен только потому, что каждый акт вынужденного излучения рождает фотон-копию: те же энергия, фаза и направление, что и у фотона, пролетевшего вдоль резонатора. Поэтому импульс не расплывается на 200 м и остаётся в узком луче. Инверсную населённость в дальномере создают на короткое время мощной вспышкой накачки, а монохроматичность позволяет приёмнику отсечь солнечный свет узкополосным фильтром.

Аэропортовый лидар-ceilometer посылает в небо импульс с длиной волны $\lambda = 1064\ \text{nm}$ и энергией $10\ \mu\text{J}$. Энергия одного фотона $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}}{1064\ \text{nm}} = 1{,}17\ \text{eV} = 1{,}87\cdot10^{-19}\ \text{J},$ значит в одном импульсе уходит $10\cdot10^{-6}/1{,}87\cdot10^{-19} \approx 5{,}4\cdot10^{13}$ фотонов. Если нижняя граница облака лежит на высоте $H = 2000\ \text{m}$, отражённый сигнал вернётся через $t = \frac{2H}{c} = \frac{4000}{3{,}00\cdot10^{8}} = 1{,}33\cdot10^{-5}\ \text{s} = 13{,}3\ \mu\text{s},$ и по этому времени прибор вычисляет высоту облачного слоя.

Энергия каждого фотона жёстко задана разностью уровней рабочего перехода $h\nu = E_2 - E_1$, поэтому лидар выбирает длину волны, подбирая активную среду, а не фильтры. Вынужденное излучение копирует направление, так что весь импульс летит вверх в телесном угле порядка миллирадиана и не освещает полнеба; монохроматичность же позволяет приёмнику узнать «свои» фотоны по длине волны среди рассеянного солнечного света. Спонтанное излучение здесь — источник шума: часть фотонов вылетает в стороны, не усиливая импульс.