Удельная теплоёмкость и тепловой баланс: расчёт нагрева и охлаждения

Теплопередача — это изменение внутренней энергии без совершения работы: тело получает или отдаёт энергию, и это проявляется в изменении его температуры. Удельная теплоёмкость $c$ показывает, сколько теплоты нужно передать $1\ \text{кг}$ вещества, чтобы изменить его температуру на $1\ \text{К}$:

$$Q = cm\,\Delta T = cm\,(t_2 - t_1).$$

При нагревании $t_2 > t_1$ и $Q > 0$, при охлаждении $Q < 0$. Произведение $C = cm$ называют теплоёмкостью тела: она растёт с массой, тогда как $c$ зависит только от вещества и агрегатного состояния. Если тела обмениваются теплотой только друг с другом, суммарная внутренняя энергия системы сохраняется, и уравнение теплового баланса имеет вид

$$Q_1 + Q_2 + \dots = 0 \quad\text{или}\quad Q_{\text{отд}} = Q_{\text{получ}}.$$

Из этого уравнения находят конечную температуру смеси, неизвестную массу или удельную теплоёмкость вещества.

Алюминиевую деталь массой $m = 0{,}50\ \text{кг}$ нагревают от $t_1 = 20\ ^\circ\text{C}$ до $t_2 = 120\ ^\circ\text{C}$. Удельная теплоёмкость алюминия $c = 900\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})$. Какое количество теплоты необходимо сообщить детали?

В теплоизолированном сосуде смешивают $m_1 = 0{,}30\ \text{кг}$ воды при $t_1 = 90\ ^\circ\text{C}$ и $m_2 = 0{,}20\ \text{кг}$ воды при $t_2 = 20\ ^\circ\text{C}$. Удельная теплоёмкость воды $c = 4200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})$. Найдите установившуюся температуру $t$.

Алюминиевый брусок массой $m_a = 0{,}15\ \text{кг}$, нагретый до $t_a = 200\ ^\circ\text{C}$, опускают в калориметр с водой массой $m_w = 0{,}40\ \text{кг}$ при $t_w = 15\ ^\circ\text{C}$. Потерями теплоты пренебрегаем, теплоёмкостью калориметра тоже. Даны $c_a = 900\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})$ и $c_w = 4200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})$. Найдите конечную температуру $t$ и количество теплоты, переданное от бруска воде.

План самостоятельной работы (сначала — модель, опыт — по желанию).

1. Откройте симуляцию PhET «Формы и превращения энергии» (Energy Forms and Changes) или любую онлайн-модель калориметра.
2. Задайте два одинаковых вещества с разными начальными температурами и массами, запустите процесс и запишите показания термометров до и после установления равновесия.
3. Внесите эти числа в таблицу в тетради или в электронную таблицу и рассчитайте $Q_{\text{отд}}$ и $Q_{\text{получ}}$ по формуле $Q = cm\,\Delta T$. Убедитесь, что $Q_{\text{отд}} \approx Q_{\text{получ}}$.
4. Измените массу одного тела в 2 раза и предскажите новую конечную температуру по уравнению $m_1(t_1 - t) = m_2(t - t_2)$, затем проверьте предсказание в модели.
5. Если хотите реальный опыт, работайте только с тёплой водой не выше $40\ ^\circ\text{C}$ в пластиковых стаканчиках: никакого кипятка, открытого огня и стеклянной посуды на краю стола; вытирайте пролитую воду сразу.

Показать, что в теплоизолированной системе теплота переходит от горячего тела к холодному, количества отданной и полученной теплоты равны, а конечная температура устанавливается между начальными.

Схема + график. Слева — калориметр, в нём горячее тело (красное) и холодное (синее); стрелка $Q_{\text{отд}}$ направлена от горячего тела к холодному, стрелка $Q_{\text{получ}}$ — к холодному, рядом подпись $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{получ}}$. Справа — график зависимости температуры от времени $t(\tau)$: кривая горячего тела убывает, кривая холодного растёт, обе сходятся к горизонтальной линии $t = t_{\text{равн}}$, причём $t_2 < t_{\text{равн}} < t_1$.

В чайник налили $1{,}5$ л воды при $20$ °C и включили нагреватель мощностью $2000$ Вт. Удельная теплоёмкость воды $c=4200$ Дж/(кг·°C), плотность $\rho=1000$ кг/м³, значит масса воды $m=\rho V=1{,}5$ кг. Чтобы нагреть её до $100$ °C, нужно $\Delta T=80$ °C.

Это прямое применение формулы $Q=cm\Delta T$: находим теплоту, которую вода получает от нагревателя. При $P=2000$ Вт время нагрева $t=Q/P$: $Q=4200\cdot1{,}5\cdot80=504\,000$ Дж, поэтому $t\approx504\,000/2000=252$ с.

Спортсмен выпивает $0{,}5$ кг воды при $10$ °C. Внутренние органы нагревают её до $37$ °C. Удельная теплоёмкость воды $c=4200$ Дж/(кг·°C).

Здесь работает $Q=cm\Delta T$ с $\Delta T=27$ °C: $Q=4200\cdot0{,}5\cdot27=56\,700$ Дж. Это тепло отводится от тела, что помогает не перегреваться.

В системе охлаждения двигателя циркулирует $5$ кг антифриза с удельной теплоёмкостью $c\approx3800$ Дж/(кг·°C). За рабочий цикл он нагревается от $20$ °C до $95$ °C.

Теплота, которую жидкость уносит от двигателя, равна $Q=cm\Delta T=3800\cdot5\cdot75=1\,425\,000$ Дж $=1{,}425$ МДж. Большая удельная теплоёмкость позволяет отвести больше тепла при умеренном нагреве.