Пространственно-временной интервал и преобразования Лоренца

Преобразования Галилея опираются на абсолютное время и потому несовместимы со вторым постулатом Эйнштейна о постоянстве скорости света во всех инерциальных системах.

Лоренцевы преобразования — это линейные соотношения между координатами одного и того же события в двух инерциальных системах, сохраняющие эту инвариантность: если $S'$ движется относительно $S$ со скоростью $v$ вдоль оси $x$, то

$$t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right),\qquad x'=\gamma(x-vt),\qquad y'=y,\qquad z'=z,$$

где $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$.

Из этих формул следует относительность одновременности: события, одновременные в $S$, в общем случае не одновременны в $S'$.

Инвариантом преобразований служит пространственно-временной интервал

$$\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2,$$

одинаковый во всех инерциальных системах.

Знак $\Delta s^2$ классифицирует пару событий: времениподобная пара ($\Delta s^2>0$) допускает причинную связь и имеет систему, где события происходят в одном месте; светоподобная ($\Delta s^2=0$) соответствует сигналу со скоростью $c$; пространственноподобная ($\Delta s^2<0$) запрещает причинную связь, но допускает систему, где события одновременны.

В инерциальной системе $S$ событие A имеет координаты $(t=0,\ x=0)$, а событие B — координаты $(t=5{,}0\ \text{год},\ x=3{,}0\ \text{св.\ год})$ вдоль оси $x$. Вычислите $\Delta s^2$, найдите $\Delta s$ и определите тип пары событий.

В системе $S$ событие имеет координаты $t=3{,}0$ года, $x=2{,}0$ св. года. Система $S'$ движется вдоль оси $x$ со скоростью $v=0{,}6c$, начала координат совпадают при $t=t'=0$. Найдите $t'$ и $x'$ и проверьте инвариантность интервала относительно события $(0,0)$.

В системе $S$ событие E1: $(t=0,\ x=0)$, событие E2: $(t=1{,}0\ \text{мкс},\ x=600\ \text{м})$. Покажите, что эти события не могут быть причинно связаны, найдите скорость системы, в которой они одновременны, и расстояние между ними в этой системе.

Безопасный план самостоятельной работы (только экран и электронная таблица — никаких источников излучения, вакуумных трубок или высокого напряжения).

1. Откройте симуляцию диаграмм Минковского или создайте электронную таблицу.
2. Внесите два события с координатами $(t_1,x_1)$ и $(t_2,x_2)$; в отдельных ячейках запрограммируйте $\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2$.
3. Добавьте столбцы для $t'=\gamma(t-vx/c^2)$ и $x'=\gamma(x-vt)$ и выводите $\Delta s'^2$.
4. Меняя $v$ от $0$ до $0{,}9c$, убедитесь, что $\Delta s'^2$ остаётся равным $\Delta s^2$ с точностью до округления.
5. Для пространственноподобной пары задайте $v=c^2\Delta t/\Delta x$ и проверьте, что $\Delta t'=0$.
6. Постройте эскиз гиперболы $c^2t^2-x^2=\Delta s^2$, проходящей через событие, и отметьте, как поворачивается ось $t'$ при изменении $v$.

Показать, что одни и те же два события имеют разные $\Delta t$ и $\Delta x$ в разных инерциальных системах, но одинаковый интервал $\Delta s^2$, и что световой конус отделяет времениподобные пары от пространственноподобных.

Диаграмма Минковского: ось $ct$ направлена вверх, ось $x$ — вправо, световой конус $x=\pm ct$; отмечены два события, мировая линия наблюдателя и наклонённые к световому конусу оси $ct'$ и $x'$ штрихованной системы; через событие проведена гипербола $c^2t^2-x^2=\Delta s^2$, а штриховая линия $t'=\text{const}$ показывает относительность одновременности.

Космические лучи, сталкиваясь с молекулами воздуха на высоте около $10\ \text{km}$ над уровнем моря, рождают мюоны. В своей системе отсчёта мюон живёт $\tau = 2.2\ \mu\text{s} = 2.2\times10^{-6}\ \text{s}$. При скорости $v = 0.998c = 2.99\times10^{8}\ \text{m/s}$ классический расчёт даёт путь $v\tau \approx 660\ \text{m}$ — до земли такой мюон долететь не должен. Тем не менее наземные детекторы регистрируют около одного мюона на $\text{cm}^2$ в минуту.

Мюон долетает до земли потому, что интервал $s^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta x^2$ одинаков во всех инерциальных системах отсчёта. В системе Земли $\Delta x = 1.0\times10^{4}\ \text{m}$, $\Delta t = \Delta x/v = 3.3\times10^{-5}\ \text{s}$, что даёт $s^2 \approx 4.4\times10^{5}\ \text{m}^2$; в системе мюона $\Delta x' = 0$ и $\Delta t' = \tau$, и $c^2\tau^2$ равно тому же числу. Преобразование Лоренца $t' = \gamma\left(t - vx/c^2\right)$ с $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} = 15.8$ переводит собственное время мюона $\tau = 2.2\ \mu\text{s}$ во время системы Земли $\Delta t = \gamma\tau = 35\ \mu\text{s}$.

Спутник GPS движется по орбите высотой $20\,200\ \text{km}$ (радиус $26\,560\ \text{km}$ от центра Земли) со скоростью $v = 3.87\ \text{km/s}$, то есть $\gamma - 1 = 8.3\times10^{-11}$. За сутки, $86\,400\ \text{s}$, боровские часы отстают от земных примерно на $8.3\times10^{-11}\times 86\,400\ \text{s} = 7.2\ \mu\text{s}$ (релятивистская часть, связанная со скоростью). Без поправки ошибка дальности росла бы на $c \times 7.2\ \mu\text{s} \approx 2.2\ \text{km}$ в сутки, тогда как телефон показывает положение с точностью до нескольких метров.

Преобразование Лоренца связывает координаты и время в системе Земли $S$ и в системе спутника $S'$: $x' = \gamma(x - vt), \qquad t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right).$ Мировая линия спутника имеет $x = vt$, поэтому $t' = \gamma t\left(1 - v^2/c^2\right) = t/\gamma$: собственное время $t'$, отсчитываемое часами спутника, короче координатного времени $t$. Инвариантность интервала $c^2t^2 - x^2 = c^2t'^2$ означает, что приёмник на Земле и спутник согласуют одно и то же значение $s^2$, и навигационное решение ищет то положение, для которого интервалы от четырёх спутников совпадают.

Зонд летит к Проксиме Центавра, $d = 4.24\ \text{ly} = 4.01\times10^{16}\ \text{m}$, со скоростью $v = 0.8c = 2.40\times10^{8}\ \text{m/s}$, то есть $\gamma = 5/3 = 1.667$. По часам Земли полёт длится $t = d/v = 1.67\times10^{8}\ \text{s} = 5.3$ года. Собственное время экипажа равно $\tau = t/\gamma = 3.2$ года, а пройденное по его измерениям расстояние — $d' = d/\gamma = 2.54\ \text{ly}$.

Инвариантность интервала требует, чтобы Земля и корабль получили одно и то же $s^2$: $c^2t^2 - d^2 = c^2\tau^2, \qquad \tau = t\sqrt{1 - \beta^2} = t/\gamma.$ Подстановка чисел даёт $c^2t^2 - d^2 = (5.3\ \text{ly})^2 - (4.24\ \text{ly})^2 = 10.1\ \text{ly}^2$, и это равно $(c\tau)^2 = (3.2\ \text{ly})^2$. Сокращение длины $d' = d/\gamma$ получается из того же преобразования Лоренца $x' = \gamma(x - vt)$ при фиксированном $t'$.