Динамика Солнечной системы и экзопланеты

Движение планет, их спутников и экзопланет определяется всемирным тяготением: $F = G\dfrac{Mm}{r^2}$. Из этого закона выводятся законы Кеплера, и для круговой орбиты вокруг тела массы $M$ период связан с большой полуосью: $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,a^3.$ Обратите внимание: период зависит от $a$ и $M$, но не от массы самой планеты, поэтому по наблюдаемым $T$ и $a$ можно найти массу центрального тела. Реальные системы не идеальны: взаимные возмущения планет, резонансы, приливы и миграция дают малые отклонения от кеплеровского движения — именно эти отклонения позволяют измерять массы планет Солнечной системы. Экзопланеты обнаруживают в основном косвенными методами: по доплеровскому смещению линий звезды (радиальные скорости), по ослаблению блеска при транзите, а также микролинзированием и прямыми изображениями. Метод радиальных скоростей даёт проекцию массы $m\sin i$, транзит даёт отношение радиусов $\delta = (R_p/R_*)^2$, а совместные наблюдения — плотность планеты и вывод о её составе. При этом методы чувствительны к разным планетам: горячие гиганты находятся легче, чем небольшие холодные планеты, поэтому известная выборка экзопланет смещена.

Планета обращается по круговой орбите вокруг звезды массой $M = 1\,M_\odot$ с большой полуосью $a = 1.5$ а.е. Найдите период обращения $T$ в годах и в сутках.

У звезды массой $M = 1\,M_\odot$ спектральные линии периодически смещаются с амплитудой $K = 12$ м/с и периодом $P = 4$ сут. Оцените минимальную массу планеты $m\sin i$.

Транзит планеты по диску звезды радиусом $R_* = 1\,R_\odot$ уменьшает блеск на $\delta = 1\%$. Метод радиальных скоростей при почти рёберном наклонении ($i \approx 90^\circ$) даёт массу $m \approx 0.9\,M_\text{Юп}$. Найдите радиус и среднюю плотность планеты и решите, каменистая она или газообразная.

Симуляция вместо ночных наблюдений. Реальный транзит требует телескопа, ясной погоды и длится часами, поэтому работаем с моделью или архивными данными.

1. Откройте онлайн-симулятор транзитов и кривых радиальных скоростей либо возьмите архивные данные какой-нибудь экзопланеты из открытой базы и постройте графики в таблице.
2. Задайте звезду $1\,M_\odot$ и планету на круговой орбите; запишите полученные $P$ и $a$.
3. По формуле $M = \dfrac{4\pi^2 a^3}{G T^2}$ восстановите массу звезды из «наблюдений» и сравните её с заданной.
4. По глубине транзита найдите $R_p/R_*$, по амплитуде $K$ найдите $m\sin i$, вычислите плотность и решите, каменистая планета или газообразная.
5. Меняя радиус и период планеты, отметьте, при каких параметрах сигнал падает ниже уровня шума — это наглядно показывает наблюдательную селекцию.

Безопасность. Никогда не смотрите на Солнце без специального фильтра; любые наблюдения ярких объектов ведите только через проверенный солнечный фильтр, установленный перед объективом.

Показать, как одна и та же орбита проявляется в двух независимых наблюдательных сигналах: периодическом смещении линий звезды и периодическом ослаблении её блеска.

Схема из двух графиков с общей осью времени. Верхний — кривая радиальных скоростей $v_r(t) = K\sin(2\pi t/P)$ с подписанными амплитудой $K$ и периодом $P$. Нижний — кривая блеска с провалами глубиной $\delta = (R_p/R_*)^2$ в моменты транзита; под одним из провалов схематично показаны звезда и проходящая по её диску планета. Моменты провалов совпадают с нулями синусоиды.

Приёмник GPS в автомобиле использует сигналы со спутников, обращающихся на высоте около $20\,200\ \text{km}$. Каждый спутник совершает один оборот примерно за $11\ \text{h}\ 58\ \text{min}$, двигаясь со скоростью около $3.9\ \text{km/s}$. Приёмник измеряет время прохождения сигнала с точностью до нескольких наносекунд, чтобы определить положение автомобиля с точностью около $5\ \text{m}$.

Радиус орбиты и период спутника связаны третьим законом Кеплера, $T^2 \propto a^3$, который следует из закона всемирного тяготения Ньютона. Те же законы позволяют вычислять орбиты экзопланет по наблюдаемым периодам их транзитов. Время прохождения сигнала также использует скорость света, что напрямую связано с измерением расстояний в астрономии.

В прибрежном городе разница между приливом и отливом обычно составляет около $2.0\ \text{m}$. Во время полнолуния, когда Солнце и Луна действуют вдоль одной линии, амплитуда прилива может возрасти до $3.0\ \text{m}$ (сизигийный прилив). Луна находится на расстоянии $384\,400\ \text{km}$; её приливное воздействие на океаны Земли примерно вдвое больше солнечного, хотя Солнце гораздо массивнее, потому что приливная сила убывает как $1/r^3$.

Это применяет закон всемирного тяготения Ньютона, $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$, и понятие приливных сил, которые возникают из-за разницы гравитационного ускорения в разных точках тела. Та же дифференциальная гравитация заставляет звезду «качаться» из-за обращающейся вокруг неё экзопланеты — сигнал, обнаруживаемый методом радиальных скоростей.

Тринадцатилетний школьник использует телескоп с диаметром $100\ \text{mm}$ и камеру смартфона, чтобы записывать яркость звезды HD 209458 в течение $4$ часов. Яркость звезды падает примерно на $1.5\%$ в течение $3$ часов, когда планета HD 209458 b проходит перед ней. Планета обращается с периодом $3.5$ дня.

Глубина падения яркости даёт отношение радиуса планеты к радиусу звезды. Длительность транзита и орбитальный период вместе с третьим законом Кеплера позволяют найти большую полуось и наклонение орбиты. Это транзитный метод — один из основных способов обнаружения и characterization экзопланет.