Синусоидальный ток, реактивное и полное сопротивление

В цепи синусоидального тока напряжение и ток меняются по гармоническому закону: $u(t)=U_0\sin(\omega t)$, $i(t)=I_0\sin(\omega t-\varphi)$, где $\omega=2\pi f$ — угловая частота.

Резистор даёт активное сопротивление $R$: на нём ток и напряжение совпадают по фазе, а амплитуды связаны законом Ома $U_R=I_0R$. Катушка обладает индуктивным сопротивлением $X_L=\omega L$, и ток в ней отстаёт от напряжения на $\pi/2$; конденсатор — ёмкостным сопротивлением $X_C=\dfrac{1}{\omega C}$, и ток в нём опережает напряжение на $\pi/2$.

При последовательном соединении складывать сопротивления напрямую нельзя: активная и реактивная части образуют прямоугольный треугольник, поэтому полное сопротивление (импеданс) равно $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2},$ а амплитуда тока $I_0=\frac{U_0}{Z}.$

Сдвиг фаз определяется как $\tan\varphi=\frac{X_L-X_C}{R}.$ Если $X_L>X_C$, цепь индуктивная: $\varphi>0$ и ток отстаёт от напряжения. Если $X_L<X_C$, цепь ёмкостная: $\varphi<0$ и ток опережает напряжение.

Когда $X_L=X_C$, реактивные сопротивления взаимно компенсируются: наступает резонанс, $Z=R$ минимально, а ток максимален. Резонансная частота $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ совпадает с формулой Томсона для свободных колебаний в LC-контуре — это одна и та же связь между $L$ и $C$.

Катушка $L=50$ мГн и конденсатор $C=20$ мкФ включены в цепь переменного тока частотой $f=50$ Гц. Найдите индуктивное $X_L$ и ёмкостное $X_C$ сопротивления.

Последовательная RLC-цепь имеет $R=30$ Ом, $X_L=70$ Ом и $X_C=30$ Ом. Амплитуда напряжения источника $U_0=100$ В. Найдите полное сопротивление $Z$, амплитуду тока $I_0$ и сдвиг фаз $\varphi$. Отстаёт ток от напряжения или опережает?

В последовательной RLC-цепи катушка имеет $L=0{,}2$ Гн, а резистор $R=25$ Ом. Подберите ёмкость $C$, при которой цепь резонирует на частоте $f_0=50$ Гц, и укажите, чему равны полное сопротивление и сдвиг фаз в этом режиме.

Безопасная самопроверка в симуляторе. Соберите последовательную RLC-цепь в онлайн-симуляторе переменного тока (например, Falstad Circuit Simulator или PhET «Электрические цепи переменного тока»). Возьмите $R=30$ Ом, $L=50$ мГн, $C=20$ мкФ и генератор с амплитудой $5$ В.

1. Рассчитайте $X_L$, $X_C$, $Z$, $I_0$ и $\varphi$ для $f=50$ Гц и сравните с показаниями симулятора.
2. Меняя частоту от $20$ до $300$ Гц, записывайте амплитуду тока. Постройте график $I_0(f)$.
3. Найдите частоту, при которой ток максимален; сравните её с $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.
4. Повторите пункт 3 для $L=0{,}2$ Гн и проверьте значение $C\approx 51$ мкФ из примера 3.

Не собирайте реальную цепь с сетевым напряжением $220$ В: это опасно. Все наблюдения проводите только в симуляторе или на низковольтном источнике (до $12$ В).

Показать геометрическую связь между активным и реактивными сопротивлениями и объяснить, почему полное сопротивление минимально при резонансе.

Две части на одном рисунке.

Слева — векторный треугольник сопротивлений: горизонтальный катет $R$, вертикальный катет $X_L-X_C$ (вверх при $X_L>X_C$, вниз при $X_L<X_C$), гипотенуза $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$; угол между $R$ и $Z$ равен сдвигу фаз $\varphi$.

Справа — график зависимостей от $\omega$: убывающая кривая $X_C=\dfrac{1}{\omega C}$, возрастающая прямая $X_L=\omega L$ и кривая $Z(\omega)$ с минимумом $Z=R$ в точке пересечения $X_L=X_C$; на оси отмечена резонансная частота $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$.

Мотор компрессора холодильника включён в розетку $230\ \text{V}$, $50\ \text{Hz}$. Обмотка имеет сопротивление $R = 40\ \Omega$ и индуктивность $L = 0.5\ \text{H}$, поэтому при $50\ \text{Hz}$ ($\omega = 2\pi f = 314\ \text{rad/s}$) индуктивное сопротивление равно $X_L = \omega L = 157\ \Omega$, а полное сопротивление $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{40^2 + 157^2} \approx 162\ \Omega$. Рабочий ток $I = U/Z = 230/162 \approx 1.4\ \text{A}$, и он отстаёт от напряжения на угол $\varphi = \arctan(157/40) \approx 76^\circ$.

Здесь работают обе части теории: реактивное сопротивление $X_L = \omega L$ и полное сопротивление $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ при $X_C = 0$. Именно индуктивность, а не сопротивление, задаёт $162\ \Omega$ вместо $40\ \Omega$, и она же задаёт сдвиг фаз $\tan\varphi = X_L/R$.

В телефоне выход звука идёт к наушникам с сопротивлением $32\ \Omega$ через последовательный разделительный конденсатор $C = 100\ \mu\text{F}$. На басовой ноте $100\ \text{Hz}$ его сопротивление $X_C = \dfrac{1}{2\pi f C} = \dfrac{1}{2\pi \cdot 100 \cdot 100\times10^{-6}} \approx 16\ \Omega$, а на тарелке $5\ \text{kHz}$ всего $X_C \approx 0.3\ \Omega$. Полное сопротивление цепочки $Z = \sqrt{32^2 + 16^2} \approx 36\ \Omega$ на $100\ \text{Hz}$ и $Z \approx 32\ \Omega$ на $5\ \text{kHz}$ — поэтому бас теряет на конденсаторе заметную часть напряжения, а высокие почти ничего.

Это ёмкостное сопротивление $X_C = 1/(\omega C)$, которое падает с ростом частоты, и полное сопротивление последовательной $R$–$C$ цепи $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$. Делитель напряжения между $X_C$ и $R$ и есть причина ослабления баса; сдвиг фаз здесь отрицателен: $\tan\varphi = -X_C/R$, ток опережает напряжение.

Мотор трамвая старой модели питается от сети $380\ \text{V}$, $50\ \text{Hz}$; обмотка возбуждения имеет $R = 6\ \Omega$ и $L = 0.15\ \text{H}$. Тогда $X_L = 2\pi \cdot 50 \cdot 0.15 = 47.1\ \Omega$, $Z = \sqrt{6^2 + 47.1^2} = 47.5\ \Omega$, ток $I = 380/47.5 \approx 8.0\ \text{A}$, а отставание по фазе $\varphi = \arctan(47.1/6) \approx 83^\circ$.

По одному сопротивлению ток был бы $380/6 \approx 63\ \text{A}$, и обмотка сгорела бы; до $8\ \text{A}$ его ограничивает именно $X_L = \omega L$ внутри $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ и закон $I = U/Z$. Так как $X_L \gg R$, ток отстаёт от напряжения почти на $90^\circ$ — признак почти чисто индуктивной нагрузки.