Смешанное соединение резисторов и правила Кирхгофа

Смешанная схема содержит резисторы, часть которых включена последовательно, а часть — параллельно. Последовательный участок даёт $R_{\text{s}}=\sum_i R_i$, параллельный — $1/R_{\text{p}}=\sum_i 1/R_i$, поэтому всю схему можно шаг за шагом свести к одному эквивалентному сопротивлению. Когда несколько источников ЭДС находятся в разных ветвях, одного закона Ома уже недостаточно, и полную систему уравнений дают правила Кирхгофа. Правило узлов утверждает, что сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из него: $\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}$. Правило контуров утверждает, что алгебраическая сумма ЭДС вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжения $IR$: $\sum \varepsilon=\sum IR$. Перед применением правил направления токов и направления обхода контуров выбирают произвольно, а отрицательный ответ означает лишь то, что реальный ток течёт в противоположную сторону.

Цепь состоит из источника $\varepsilon=20\ \text{V}$ (внутренним сопротивлением пренебречь), резистора $R_1=4\ \Omega$, параллельного участка из $R_2=12\ \Omega$ и $R_3=6\ \Omega$ и резистора $R_4=2\ \Omega$, соединённых последовательно. Найдите эквивалентное сопротивление, общий ток, напряжение на параллельном участке и токи в ветвях $R_2$ и $R_3$.

Узел A соединён с узлом B тремя ветвями. Левая ветвь: источник $\varepsilon_1=12\ \text{V}$ (плюс к узлу A) и $R_1=2\ \Omega$. Средняя ветвь: $R_2=4\ \Omega$. Правая ветвь: $R_3=2\ \Omega$ и источник $\varepsilon_2=6\ \text{V}$ (плюс к узлу A). Обозначим $I_1$ — ток в левой ветви вверх (B → A), $I_2$ — ток в средней ветви вниз (A → B), $I_3$ — ток в правой ветви вниз (A → B). Найдите все три тока.

Возьмём ту же цепь, что и в предыдущем примере ($\varepsilon_1=12\ \text{V}$, $R_1=2\ \Omega$, $R_2=4\ \Omega$, $R_3=2\ \Omega$, плюс источника направлен к узлу A), но заменим правый источник на $\varepsilon_2=15\ \text{V}$ с той же полярностью. Определите направление тока в правой ветви, выясните, отдаёт этот источник энергию или поглощает её, и проверьте результат балансом мощностей.

Безопасный план самостоятельной работы в симуляторе (PhET «Circuit Construction Kit: DC» или аналогичном; реальная сборка под напряжением здесь не требуется).

1. Соберите цепь из примера 2: два источника, три ветви между двумя узлами A и B, амперметр в каждой ветви.
2. Запишите показания амперметров и проверьте правило узлов: сумма токов, входящих в A, должна равняться сумме выходящих.
3. Подключите вольтметр поочерёдно к каждой ветви и убедитесь, что $V_A-V_B$ одинаково для всех трёх ветвей.
4. Сложите падения $IR$ и ЭДС по левому и правому контурам и убедитесь, что суммы равны нулю.
5. Плавно изменяйте $\varepsilon_2$ от $+6\ \text{V}$ до $-18\ \text{V}$ (отрицательные значения означают, что полярность правого источника противоположна исходной) и найдите значение, при котором ток в средней ветви обращается в нуль; это происходит при $\varepsilon_2=-12\ \text{V}$ в исходном соглашении о знаках. Запишите этот порог и объясните его через уравнения Кирхгофа: $I_2=(12+\varepsilon_2)/10\ \text{A}$.
6. Сравните измеренные токи с расчётом по формулам из примеров 2 и 3; расхождение больше 5 % означает ошибку в знаках или в направлении обхода контура.

Показать топологию смешанной цепи и явно отметить узел и контуры, к которым применяются правила Кирхгофа, чтобы связать схему с системой уравнений.

Схематический чертёж: два узла A (сверху) и B (снизу); левая ветвь с $\varepsilon_1$ и $R_1$, средняя ветвь с $R_2$, правая ветвь с $R_3$ и $\varepsilon_2$; на каждой ветви стрелкой показано выбранное положительное направление тока ($I_1$ вверх, $I_2$ и $I_3$ вниз); пунктирными стрелками обхода помечены левый и правый контуры, а в узле A короткой дугой отмечено правило узлов $I_1=I_2+I_3$.

Динамо «бутылочного» типа на велосипеде даёт $6.0\ \text{V}$. Фара с сопротивлением $R_1 = 12\ \Omega$ и задний фонарь с $R_2 = 24\ \Omega$ включены параллельно. Соединительный провод имеет полное сопротивление $R_w = 0.4\ \Omega$ и включён последовательно с этой парой. В движении фара горит ярко, а маленький задний фонарь — тускло.

Две лампы образуют параллельный участок: $1/R_p = 1/12 + 1/24$, откуда $R_p = 8.0\ \Omega$. Провод складывается с ним последовательно: $R = 8.0 + 0.4 = 8.4\ \Omega$, поэтому $I = 6.0/8.4 \approx 0.71\ \text{A}$. Падение напряжения на проводе $0.4 \cdot 0.71 \approx 0.29\ \text{V}$, значит на узле остаётся $5.71\ \text{V}$. Правило токов Кирхгофа в узле: $0.48\ \text{A} + 0.24\ \text{A} \approx 0.71\ \text{A}$. Правило напряжений для контура: $6.0 = 0.29 + 5.71$.

Повербанк выдаёт $5.00\ \text{V}$. Кабель USB имеет полное сопротивление $R_c = 0.15\ \Omega$ и несёт ток $I = 2.0\ \text{A}$. Внутри телефона ток разделяется: $1.7\ \text{A}$ идёт в аккумулятор, а $0.3\ \text{A}$ питают экран и процессор.

Кабель и телефон включены последовательно, а аккумулятор и работающая электроника образуют внутри параллельные ветви. По правилу напряжений падение на кабеле $0.15 \cdot 2.0 = 0.30\ \text{V}$, значит на входе телефона $5.00 - 0.30 = 4.70\ \text{V}$; в кабеле выделяется теплота $I^2 R_c = 4.0 \cdot 0.15 = 0.60\ \text{W}$. По правилу токов в узле: $2.0 = 1.7 + 0.3$.

На кухне розеточная линия питается напряжением $230\ \text{V}$ через кабель сопротивлением $R_w = 0.10\ \Omega$ и защищена автоматом на $16\ \text{A}$. Чайник рассчитан на $2.0\ \text{kW}$ (ток $\approx 8.7\ \text{A}$), микроволновка — на $1.0\ \text{kW}$ (ток $\approx 4.3\ \text{A}$). Их включают одновременно.

Приборы — параллельные ветви, а кабель включён последовательно с обеими. Правило токов: в узле линейный ток равен $8.7 + 4.3 = 13.0\ \text{A}$, что меньше $16\ \text{A}$, поэтому автомат не срабатывает. Правило напряжений: падение на кабеле $0.10 \cdot 13.0 = 1.3\ \text{V}$, и каждый прибор получает $228.7\ \text{V}$ вместо $230\ \text{V}$. Если работает только чайник, ток $8.7\ \text{A}$ даёт падение всего $0.87\ \text{V}$: добавление параллельной ветви увеличивает падение на последовательном участке перед ней.