Самоиндукция, индуктивность и энергия магнитного поля

Когда ток в контуре изменяется, изменяется и создаваемый им магнитный поток через сам контур, и по закону Фарадея в контуре возникает ЭДС самоиндукции $\varepsilon_s = -\dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$. Коэффициент пропорциональности $L$ называют индуктивностью; она определяется геометрией контура и магнитными свойствами среды и не зависит от силы тока. Знак «минус» выражает правило Ленца: ЭДС самоиндукции препятствует изменению тока, поэтому ток в катушке не может измениться мгновенно. Для длинного соленоида $L = \mu_0 \mu \dfrac{N^2 S}{l}$. Магнитное поле обладает энергией: $W = \dfrac{L I^2}{2} = \dfrac{\Phi I}{2}$, а плотность энергии $w = \dfrac{B^2}{2\mu_0\mu}$. Для сравнения: в конденсаторе энергия $\dfrac{qU}{2}$ запасается в электрическом поле, а здесь — в магнитном.

Индуктивность катушки $L = 0.25$ Гн. Сила тока в ней равномерно изменяется от 2 А до 6 А за $0.02$ с. Найдите модуль ЭДС самоиндукции.

Соленоид содержит $N = 500$ витков, длина $l = 0.4$ м, площадь поперечного сечения $S = 4\cdot 10^{-4}$ м$^2$, сердечник отсутствует ($\mu = 1$). Сила тока $I = 2$ А. Найдите: 1) индуктивность $L$; 2) индукцию поля $B$ внутри соленоида; 3) энергию магнитного поля $W$.

В объёме $V = 2\cdot10^{-3}$ м$^3$ создано однородное магнитное поле с индукцией $B = 0.5$ Тл (вакуум, $\mu = 1$). 1) Найдите энергию поля в этом объёме. 2) Какой индуктивностью должна обладать катушка, чтобы при токе $I = 3$ А запасти такую же энергию? 3) Оцените, реалистично ли это для компактной катушки без сердечника.

Безопасный план самостоятельной работы в симуляторе. Соберите RL-цепь в виртуальной лаборатории (например, Falstad CircuitJS или PhET «Электрические цепи»): источник $6$ В, резистор $R = 100$ Ом, катушка $L = 0.5$ Гн, ключ, амперметр и график тока. Внимание: не повторяйте размыкание цепи с реальной катушкой индуктивностью в несколько генри — индуктивный выброс напряжения даёт опасную искру и может повредить приборы; работайте только в симуляции.

1. Замкните ключ и запишите график $I(t)$: убедитесь, что ток нарастает плавно, а не скачком.
2. Определите по графику время $\tau$, за которое ток достигает примерно $63\,\%$ установившегося значения $I_0 = \dfrac{\mathcal{E}}{R}$, и сравните с расчётом $\tau = \dfrac{L}{R} = 5$ мс.
3. Удвойте $L$ до $1$ Гн и проверьте, что время нарастания удвоилось, а установившийся ток не изменился.
4. Измените $R$ и убедитесь, что $\tau$ обратно пропорционально $R$.
5. Сделайте вывод в тетради в виде двух-трёх предложений о роли индуктивности как «электрической инерции».

Показать, что ток в катушке нарастает плавно, что ЭДС самоиндукции направлена против изменения тока, и что запасённая энергия связана с магнитным полем, а не с проводами как таковыми.

Схема и график. (1) Слева — схема RL-цепи с ключом, источником $\mathcal{E}$, резистором $R$ и катушкой $L$ (стрелка ЭДС самоиндукции $\varepsilon_s$ направлена против тока при его росте). (2) Справа — график $I(t)$ при включении: кривая плавно выходит на $I_0 = \mathcal{E}/R$; отмечены уровень $0.63\,I_0$ и время $\tau = L/R$. (3) Внизу — соленоид с линиями поля $B$ и подписями $W = \dfrac{LI^2}{2}$, $w = \dfrac{B^2}{2\mu_0\mu}$; затемнённый объём $V = Sl$ показывает, где локализована энергия.

В катушке зажигания автомобиля первичная обмотка имеет индуктивность $L = 5\,\mathrm{mH}$. Через неё идёт ток $I = 8\,\mathrm{A}$. Контакты прерывателя размыкаются, и ток падает до нуля за $\Delta t = 20\,\mathrm{\mu s}$. Магнитное поле катушки в этот момент запасает энергию $W = \frac12 L I^2 = \frac12 \times 5\times10^{-3}\,\mathrm{H} \times (8\,\mathrm{A})^2 = 0{,}16\,\mathrm{J}$. Средняя скорость изменения тока $\frac{\Delta I}{\Delta t} = \frac{8\,\mathrm{A}}{20\times10^{-6}\,\mathrm{s}} = 4\times10^5\,\mathrm{A/s}$, поэтому ЭДС самоиндукции $|\varepsilon| = L \frac{\Delta I}{\Delta t} = 5\times10^{-3} \times 4\times10^5 = 2\times10^3\,\mathrm{V}$. Вторичная обмотка с коэффициентом трансформации $100$ повышает это напряжение примерно до $200\,\mathrm{kV}$, и между электродами свечи проскакивает искра.

Здесь работают два ключевых соотношения темы: ЭДС самоиндукции $\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ при быстром размыкании цепи и энергия магнитного поля $W = \frac12 L I^2$, запасённая в катушке.

В индукционной плите катушка под стеклом имеет индуктивность $L = 50\,\mathrm{\mu H}$ и работает на частоте $f = 25\,\mathrm{kHz}$ при амплитуде тока $I = 20\,\mathrm{A}$. В момент максимума тока магнитное поле запасает энергию $W = \frac12 L I^2 = \frac12 \times 50\times10^{-6}\,\mathrm{H} \times (20\,\mathrm{A})^2 = 0{,}01\,\mathrm{J}$. Максимальная скорость изменения тока $\frac{dI}{dt} = 2\pi f I = 2\pi \times 25000\,\mathrm{Hz} \times 20\,\mathrm{A} \approx 3.14\times10^6\,\mathrm{A/s}$, поэтому амплитуда ЭДС самоиндукции $\varepsilon = L \frac{dI}{dt} \approx 50\times10^{-6} \times 3.14\times10^6 \approx 157\,\mathrm{V}$. Эта ЭДС ограничивает ток и задаёт режим работы схемы.

Сценарий показывает, как переменный ток в катушке постоянно испытывает самоиндукцию: $\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ ограничивает скорость изменения тока, а энергия $W = \frac12 L I^2$ периодически запасается в магнитном поле и возвращается источнику.

В беспроводной зарядке телефона катушка имеет индуктивность $L = 20\,\mathrm{\mu H}$ и работает на частоте $f = 100\,\mathrm{kHz}$ при амплитуде тока $I = 1.5\,\mathrm{A}$. Запасённая в магнитном поле энергия $W = \frac12 L I^2 = \frac12 \times 20\times10^{-6}\,\mathrm{H} \times (1.5\,\mathrm{A})^2 = 2.25\times10^{-5}\,\mathrm{J}$. Максимальная скорость изменения тока $\frac{dI}{dt} = 2\pi f I = 2\pi \times 100000 \times 1.5 \approx 9.42\times10^5\,\mathrm{A/s}$, поэтому амплитуда ЭДС самоиндукции $\varepsilon = L \frac{dI}{dt} \approx 20\times10^{-6} \times 9.42\times10^5 \approx 18.8\,\mathrm{V}$. Именно самоиндукция не даёт току меняться мгновенно и обеспечивает передачу энергии через переменное магнитное поле.

Здесь используется связь между индуктивностью и энергией магнитного поля: $W = \frac12 L I^2$ определяет, сколько энергии запасает катушка зарядки, а $\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ объясняет, почему ток в катушке не может меняться мгновенно и задаёт нужную частоту преобразования.