Условия равновесия твёрдого тела

Твёрдое тело находится в равновесии, если в инерциальной системе отсчёта оно покоится или движется с постоянной линейной и постоянной угловой скоростью.

Для этого выполняются два независимых условия: сумма всех внешних сил равна нулю и сумма моментов всех внешних сил относительно любой точки равна нулю. В плоском случае:

$$\Sigma F_x = 0, \qquad \Sigma F_y = 0, \qquad \Sigma M = 0.$$

Момент силы равен $M = Fd$, где $d$ — плечо, то есть кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы; равносильно $M = rF\sin\theta$. Момент положителен, если сила вращает тело против часовой стрелки.

Если $\Sigma \vec{F} = 0$, суммарный момент не зависит от выбора точки, поэтому точку можно выбрать так, чтобы неизвестные силы в уравнение не входили. Вес тела приложен в центре тяжести: у однородного стержня — в его середине, у однородного диска — в центре.

Однородная линейка весит $2{,}0$ Н и уравновешена на острие карандаша в своей середине. Слева на расстоянии $0{,}20$ м от опоры подвешен груз весом $5{,}0$ Н. На каком расстоянии справа надо подвесить груз весом $4{,}0$ Н, чтобы линейка осталась в равновесии?

Однородная горизонтальная балка AB длиной $3{,}0$ м весит $150$ Н и лежит на двух опорах — в точках A и B. На расстоянии $1{,}0$ м от A на балку положили груз $400$ Н. Найдите силы давления балки на опоры.

Однородный стержень длиной $L = 2{,}0$ м и массой $6{,}0$ кг закреплён шарниром на стене и удерживается горизонтально тросом, прикреплённым к свободному концу. Трос образует со стержнем угол $40^\circ$. Найдите натяжение троса и силу, с которой шарнир действует на стержень ($g = 9{,}8$ м/с$^2$).

Работайте в симуляции PhET «Balancing Act».

1. Поставьте два груза на планку и добейтесь её горизонтального положения; запишите $m_1$, $d_1$, $m_2$, $d_2$ и проверьте равенство $m_1 d_1 = m_2 d_2$.
2. Добавьте третий груз, предскажите по условию $\Sigma M = 0$ положение одного из грузов и только затем отпустите планку — сравните предсказание с результатом.
3. Для проверки второго условия, $\Sigma F = 0$, посмотрите, как меняется показание опоры при перестановке грузов при неизменном их суммарном весе.

Если хотите физическую проверку, положите линейку на карандаш на ровном столе, уравновесьте её одинаковыми монетами и убедитесь, что произведение массы на плечо слева равно произведению справа. Работайте только с лёгкими безопасными предметами, не нагружайте стеклянные поверхности и не используйте острые или тяжёлые грузы.

Показать, что равновесие требует одновременного выполнения $\Sigma \vec{F} = 0$ и $\Sigma M = 0$ и что при $\Sigma \vec{F} = 0$ результат не зависит от выбора точки, относительно которой считаются моменты.

Схема из двух панелей.

• Панель 1: горизонтальная балка на двух опорах с грузом. Стрелками показаны силы $R_A$, $R_B$, вес балки в середине и вес груза; штриховыми линиями отмечены плечи — перпендикуляры от точки A до линий действия сил — и подписаны расстояния.
• Панель 2: та же балка, но моменты берутся относительно точки B; видно, что плечо силы $R_B$ обращается в нуль, а уравнение моментов даёт то же значение $R_A$.
• Рядом небольшой круг со стрелкой против часовой стрелки и знаком «$+$» — правило знаков для моментов.

На детской площадке качели-балансир — это доска длиной $3{,}0\ \text{м}$ на опоре посередине. Слева от опоры на расстоянии $1{,}5\ \text{м}$ сидит ребёнок массой $30\ \text{кг}$, справа — ребёнок массой $45\ \text{кг}$. Оба оторвали ноги от земли, и доска остаётся горизонтальной, не поворачиваясь ни в одну сторону.

Чтобы доска оставалась горизонтальной, выполняются оба условия равновесия. Моменты относительно опоры: $30\cdot 9{,}8\cdot 1{,}5 = 441\ \text{Н}\cdot\text{м}$ против часовой стрелки и $45\cdot 9{,}8\cdot 1{,}0 = 441\ \text{Н}\cdot\text{м}$ по часовой стрелке, поэтому $\sum \tau = 0$, а более тяжёлый ребёнок сидит ровно на $1{,}0\ \text{м}$ от опоры. Сумма сил: $\sum F_y = 0$, значит опора давит вверх с силой $735\ \text{Н} = (30+45)\cdot 9{,}8$ — полный вес детей.

Садовник держит тачку с $60\ \text{кг}$ земли. Центр масс груза находится в $0{,}40\ \text{м}$ от оси колеса, а ручки, за которые садовник поднимает тачку, — в $1{,}20\ \text{м}$ от оси. Тачка удерживается неподвижно, не наклоняясь ни вверх, ни вниз.

Момент веса груза относительно оси колеса равен $60\cdot 9{,}8\cdot 0{,}40 = 235\ \text{Н}\cdot\text{м}$; его должен уравновесить момент силы рук: $F\cdot 1{,}20 = 235\ \text{Н}\cdot\text{м}$, откуда $F \approx 196\ \text{Н}$. Вторая условие равновесия — баланс вертикальных сил: $196\ \text{Н} + N_{\text{колесо}} = 588\ \text{Н}$, и на ось приходится $392\ \text{Н}$.

Вывеска висит на однородной горизонтальной балке массой $8{,}0\ \text{кг}$ и длиной $1{,}20\ \text{м}$, закреплённой шарниром у стены. От стены к дальнему концу балки идёт трос, образующий с балкой угол $40^\circ$. Вывеска массой $3{,}0\ \text{кг}$ подвешена на дальнем конце.

Сумма моментов относительно шарнира равна нулю: вес балки $78\ \text{Н}$ с плечом $0{,}60\ \text{м}$ даёт $47\ \text{Н}\cdot\text{м}$, вес вывески $29\ \text{Н}$ с плечом $1{,}20\ \text{м}$ даёт $35\ \text{Н}\cdot\text{м}$, всего $82\ \text{Н}\cdot\text{м}$. Сила натяжения троса $T$ имеет плечо $1{,}20\sin 40^\circ = 0{,}77\ \text{м}$, поэтому $T = 82/0{,}77 \approx 1{,}1\cdot 10^{2}\ \text{Н}$. Из $\sum F_x = 0$ шарнир толкает балку к стене с силой $T\cos 40^\circ \approx 82\ \text{Н}$, а из $\sum F_y = 0$ — вверх с силой $107 - T\sin 40^\circ \approx 38\ \text{Н}$.