Релятивистские энергия, импульс и энергия покоя

В специальной теории относительности четырёхвектор энергии-импульса свободной частицы имеет вид $p^\mu = (E/c, \mathbf p)$ и преобразуется между инерциальными системами тем же преобразованием Лоренца, которое сохраняет пространственно-временной интервал $s^2 = c^2t^2 - x^2$.

Временная компонента — это полная энергия $E$, делённая на $c$, а пространственная — релятивистский импульс

$$\mathbf p = \gamma m \mathbf v, \qquad \gamma = (1 - v^2/c^2)^{-1/2}.$$

Поскольку $p^\mu p_\mu$ — лоренцев скаляр, комбинация

$$E^2 - (pc)^2 = (mc^2)^2$$

одинакова во всех инерциальных системах; величину $mc^2$ называют энергией покоя. Поэтому полная энергия $E = \gamma mc^2$, а кинетическая энергия $K = E - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$. При $v \ll c$ разложение даёт $K \approx \frac12 mv^2$ и $E \approx mc^2 + p^2/(2m)$, что возвращает ньютоновские результаты.

Электрон (масса покоя $m_e = 9{,}11\times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, энергия покоя $m_ec^2 = 0{,}511\,\mathrm{MeV}$) движется со скоростью $v = 0{,}80c$. Найдите $\gamma$, полную энергию $E$, импульс $p$ и кинетическую энергию $K$.

Протон (энергия покоя $m_pc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$) имеет кинетическую энергию $K = 500\,\mathrm{MeV}$. Найдите его полную энергию, импульс (в $\mathrm{MeV}/c$) и скорость как долю от $c$.

Частица массы $M$, первоначально покоящаяся, распадается на две одинаковые частицы массы $m$, причём $m < M/2$. Используя законы сохранения релятивистской энергии и импульса, найдите энергию и импульс каждой дочерней частицы, а также её скорость.

Самостоятельная работа с электронной таблицей или браузерной симуляцией релятивистской динамики (например, PhET или аналогичной открытой симуляцией). Выберите массу частицы (электрон или протон) и занесите в таблицу значения $\beta$ от 0,01 до 0,99 с шагом (например, 0,05). Для каждой строки вычислите $\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$, $E = \gamma mc^2$, $pc = \gamma \beta mc^2$, $K = E - mc^2$. Убедитесь, что $E^2-(pc)^2$ постоянна и равна $(mc^2)^2$. Затем вычислите относительное различие $(K - \frac12 mv^2)/K$ и найдите наименьшее значение $\beta$ в таблице, при котором оно превышает 1%. Если доступна симуляция, повторите для одного значения импульса и подтвердите, что инвариант одинаков в движущейся системе (примените преобразование Лоренца к $E/c$ и $p$). Не используйте радиоактивные источники или ускорители; вся работа численная или имитационная.

Показать, что допустимые состояния свободной частицы лежат на гиперболе массовой поверхности, и сделать наглядными инвариант $E^2-(pc)^2=(mc^2)^2$, точку энергии покоя и предельный случай фотона.

Помеченный график зависимости $E$ от $pc$: гипербола $E^2-(pc)^2=(mc^2)^2$ в первой четверти с точкой пересечения $E=mc^2$ на вертикальной оси; асимптота $E=pc$ (линия фотона); отмечены точки для медленной частицы ($pc \ll mc^2$, $E\approx mc^2$), релятивистской частицы и фотона ($m=0$). Штриховые стрелки показывают лоренц-инвариантное расстояние от начала координат.

Усэйн Болт пробежал $100\ \mathrm{м}$ за $9.58\ \mathrm{с}$ и развил скорость около $12.4\ \mathrm{м/с}$ при массе $94\ \mathrm{кг}$. Кинетическая энергия по Ньютону $K \approx \frac{1}{2}mv^2 \approx 7.2\ \mathrm{кДж}$, а энергия покоя $E_0 = mc^2 = 94\ \mathrm{кг} \times (3.00\times 10^{8}\ \mathrm{м/с})^2 \approx 8.5\times 10^{18}\ \mathrm{Дж}$ — столько же даёт электростанция мощностью $1\ \mathrm{ГВт}$ за 270 лет.

Работают формулы $E = \gamma mc^2$ и $K = (\gamma-1)mc^2$. При $\beta = 12.4/(3.0\times 10^{8}) = 4.1\times 10^{-8}$ получаем $\gamma - 1 \approx \frac{1}{2}\beta^2 = 8.5\times 10^{-16}$, поэтому $K = (\gamma-1)mc^2 = 7.2\ \mathrm{кДж}$ — ровно столько же, сколько даёт $\frac{1}{2}mv^2$. Отношение $K/E_0 \approx 8.5\times 10^{-16}$ показывает, что при бытовых скоростях релятивистская формула неотличима от ньютоновской, а основным запасом энергии тела остаётся $E_0 = mc^2$.

Электромобиль массой $1500\ \mathrm{кг}$ едет со скоростью $30\ \mathrm{м/с}$ ($108\ \mathrm{км/ч}$). Его кинетическая энергия $\frac{1}{2}mv^2 = 6.75\times 10^5\ \mathrm{Дж} = 675\ \mathrm{кДж}$, а батарея ёмкостью $60\ \mathrm{кВт\cdot ч} = 2.16\times 10^8\ \mathrm{Дж}$ содержит в 320 раз больше энергии. Энергия покоя той же массы равна $E_0 = mc^2 = 1500\ \mathrm{кг} \times 9\times 10^{16}\ \mathrm{м^2/с^2} = 1.35\times 10^{20}\ \mathrm{Дж}$.

Снова используются $E = \gamma mc^2$ и $K = (\gamma-1)mc^2$: при $v = 30\ \mathrm{м/с}$ имеем $\gamma - 1 \approx \frac{1}{2}(10^{-7})^2 = 5.0\times 10^{-15}$, откуда $(\gamma-1)mc^2 = 5.0\times 10^{-15} \times 1.35\times 10^{20} = 6.75\times 10^5\ \mathrm{Дж}$, что совпадает с $\frac{1}{2}mv^2$. Формула $E_0 = mc^2$ работает и в обратную сторону: изменение энергии тела на $\Delta E$ меняет его массу на $\Delta m = \Delta E/c^2$, поэтому полностью заряженная батарея тяжелее разряженной на $2.16\times 10^8/(9\times 10^{16}) = 2.4\times 10^{-9}\ \mathrm{кг}$, то есть на $2.4\ \mathrm{мкг}$.

Один удар молнии переносит около $10^9\ \mathrm{Дж}$ ($1\ \mathrm{ГДж}$) — например, заряд $15\ \mathrm{Кл}$ при напряжении $7\times 10^7\ \mathrm{В}$. Эквивалентная масса $\Delta m = E/c^2 = 10^9/(9\times 10^{16}) \approx 1.1\times 10^{-8}\ \mathrm{кг} \approx 11\ \mathrm{мкг}$ — меньше крупинки соли. Энергия покоя $1\ \mathrm{кг}$ вещества равна $9\times 10^{16}\ \mathrm{Дж}$, то есть 90 миллионов таких молний.

Это прямое применение $E_0 = mc^2$: энергия, унесённая светом, громом и нагревом воздуха, соответствует убыли массы $\Delta m = \Delta E/c^2$, и та же связь объясняет, почему в химических реакциях она ничтожна, а в ядерных — заметна. Общая формула $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ дополнительно показывает, что безмассовая частица ($m = 0$) уносит энергию только через импульс, $E = pc$.