Отражение, преломление и полное внутреннее отражение света

Свет — электромагнитная волна: в вакууме он распространяется со скоростью $c \approx 3\cdot 10^{8}$ м/с, а в прозрачной среде медленнее, поэтому среде приписывают показатель преломления $n = c/v$.

На границе двух сред часть света отражается, а часть проходит во вторую среду, меняя направление, — это преломление; все углы отсчитывают от нормали, то есть перпендикуляра к поверхности в точке падения.

Закон отражения: угол отражения равен углу падения, $\theta_r = \theta_i$, и падающий луч, отражённый луч и нормаль лежат в одной плоскости.

Закон Снеллиуса связывает углы с показателями преломления: $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2.$

Если свет идёт из более плотной среды в менее плотную ($n_1 > n_2$), преломлённый луч отклоняется от нормали сильнее падающего, и при критическом угле $\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$ он скользит вдоль границы.

При $\theta_1 > \theta_c$ преломлённого луча нет: свет полностью возвращается в первую среду — это полное внутреннее отражение, возможное только при $n_1 > n_2$.

Луч света падает на плоское зеркало под углом $\theta_i = 30^\circ$ к нормали. Найдите угол отражения $\theta_r$ и угол между падающим лучом и плоскостью зеркала.

Свет переходит из воздуха ($n_1 = 1{,}00$) в стекло ($n_2 = 1{,}50$) и падает на границу под углом $\theta_1 = 40^\circ$ к нормали. Найдите угол преломления $\theta_2$ и определите, к нормали или от нормали отклонился луч.

Оптическое волокно состоит из сердцевины ($n_1 = 1{,}50$) и оболочки ($n_2 = 1{,}45$). (а) Найдите критический угол на границе сердцевина–оболочка. (б) Объясните, почему луч, падающий на эту границу под углом $80^\circ$, остаётся в сердцевине.

Самопроверка в симуляции (безопасно, без лазера).

1. Откройте симуляцию по геометрической оптике (например, «Bending Light / Изгиб света» из PhET) в режиме «Преломление».
2. Поставьте сверху воздух ($n = 1{,}00$), снизу стекло ($n = 1{,}50$). Меняйте угол падения от $10^\circ$ до $70^\circ$ и записывайте пары $(\theta_1, \theta_2)$ в таблицу.
3. Для каждой пары вычислите $n_1\sin\theta_1$ и $n_2\sin\theta_2$ и убедитесь, что закон Снеллиуса выполняется в пределах погрешности снятия углов с экрана.
4. Переверните среды: сверху стекло, снизу воздух. Увеличивайте $\theta_1$ до исчезновения преломлённого луча и сравните найденный критический угол с $\arcsin(n_2/n_1)$.
5. Домашнее наблюдение: опустите карандаш в стакан с водой — он выглядит изломанным на границе вода–воздух. Это преломление; измерения с полным внутренним отражением делайте только в симуляции, а лазерную указку не направляйте ни в глаза, ни на зеркальные поверхности.

Показать геометрию отражения и преломления на границе двух сред и порог, при котором преломлённый луч исчезает и остаётся только полное внутреннее отражение.

Схема (разрез) и два графика.

Слева — горизонтальная граница раздела двух сред, вертикальная штриховая нормаль, падающий луч под углом $\theta_1$ к нормали, отражённый луч под углом $\theta_r = \theta_1$ и преломлённый луч под углом $\theta_2 < \theta_1$ (переход в более плотную среду); углы отмечены дугами у нормали, рядом подписаны $n_1$ и $n_2$.

Справа — два графика зависимости $\theta_2$ от $\theta_1$: при $n_1 < n_2$ кривая плавно растёт и остаётся ниже $\theta_1$; при $n_1 > n_2$ кривая обрывается в точке $\theta_c$ (пунктирная вертикаль с подписью «$\sin\theta_c = n_2/n_1$»), а за ней показана только отражённая ветвь с пометкой «полное внутреннее отражение».

Врезка внизу — сердцевина и оболочка оптического волокна с зигзагообразным лучом, который отражается на границе под углом больше $\theta_c$.

Летним днём асфальт шоссе нагревается примерно до $60\,^\circ\mathrm{C}$, а воздух на высоте одного метра над ним остаётся около $30\,^\circ\mathrm{C}$. Солнечный свет приходит с неба под углом всего в несколько градусов к поверхности дороги. Водителю за $15\ \mathrm{m}$ дорога кажется залитой яркой «лужей», но она исчезает, как только машина до неё доезжает.

Воздух у асфальта горячее и менее плотный, поэтому его показатель преломления меньше: разница между воздухом при $60\,^\circ\mathrm{C}$ и при $30\,^\circ\mathrm{C}$ составляет всего $\Delta n \approx 2\times10^{-5}$. На каждой тонкой прослойке преломление подчиняется $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$, а полное внутреннее отражение требует угла больше критического $\theta_c = \arcsin(n_2/n_1)$, который для этих двух слоёв равен $89{,}6^\circ$. Обратно заворачиваются только лучи, идущие в пределах примерно $0{,}4^\circ$ от поверхности дороги; поскольку слои образуют непрерывный градиент, луч изгибается вверх постепенно, а глаз продолжает его по прямой и видит яркую «лужу».

Оптическое волокно, по которому интернет приходит в дом, имеет стеклянную сердцевину с $n_1 = 1.48$ и оболочку с $n_2 = 1.46$. В сердцевине свет идёт со скоростью $v = c/n_1 = 3.00\times10^8/1.48 = 2.03\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Лазер с длиной волны $1550\ \mathrm{nm}$ посылает импульсы длительностью $10^{-10}\ \mathrm{s}$ на участок $50\ \mathrm{km}$ между двумя усилителями, и на каждом километре теряется около $0.2\ \mathrm{dB}$.

Критический угол на границе сердцевина–оболочка равен $\theta_c = \arcsin(1.46/1.48) = 80.6^\circ$: любой луч, падающий на стенку под углом к нормали больше этого, испытывает полное внутреннее отражение и не может покинуть сердцевину. Числовая апертура $\mathrm{NA} = \sqrt{n_1^2-n_2^2} = 0.24$ задаёт предельный полуугол ввода $\arcsin(0.24) = 14^\circ$ — лучи, вошедшие под большим углом, уходят в оболочку.

Бассейн наполнен водой с показателем преломления $n = 1.33$ до глубины $2.0\ \mathrm{m}$. Стоя у бортика и глядя почти вертикально вниз, вы видите дно на кажущейся глубине всего $2.0/1.33 = 1.5\ \mathrm{m}$. Пловец под водой в очках смотрит вверх и видит всё небо, сжатое в яркий конус с полууглом $48.8^\circ$, а всё вокруг этого конуса — зеркальное изображение самого бассейна.

Кажущаяся глубина получается из закона Снеллиуса $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$, применённого к почти вертикальным лучам от дна. Край конуса — это критический угол для перехода вода–воздух: $\theta_c = \arcsin(1.00/1.33) = 48.8^\circ$. При угле от вертикали больше $48.8^\circ$ свет из воздуха вообще не может войти в воду, и поверхность воды становится идеальным зеркалом для дна бассейна за счёт полного внутреннего отражения.