Законы отражения, преломления и полного внутреннего отражения

На гладкой границе двух сред падающая волна частично отражается и частично проходит, а направления возникающих лучей следуют из граничных условий для волнового поля по обе стороны поверхности. Вдоль границы тангенциальная составляющая волнового вектора должна быть непрерывной; это условие согласования фаз даёт закон отражения $\theta_i=\theta_r$ и закон Снеллиуса $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$, где углы отсчитываются от нормали. Показатель преломления $n=c/v$ показывает, во сколько раз волна замедляется в среде, поэтому длина волны уменьшается до $\lambda_2=\lambda_1 n_1/n_2$, а частота остаётся неизменной. Поскольку $|\sin\theta_2|\le 1$, при переходе из более плотной среды в менее плотную ( $n_1>n_2$ ) прошедшего направления не существует, когда $\theta_1$ превышает критический угол $\theta_c=\arcsin(n_2/n_1)$; тогда вся энергия отражается обратно в первую среду — это полное внутреннее отражение.

Эта картина согласуется с уже известными вам представлениями о распространении и интерференции волн: отражение и преломление — это когерентная суперпозиция рассеянных вейвлетов, фазы которых складываются конструктивно только в направлениях, удовлетворяющих граничному условию. За критическим углом прошедшее поле становится эванесцентной волной, экспоненциально затухающей вдали от границы и не переносящей потока энергии через неё. Полное внутреннее отражение лежит в основе оптических волокон, призм и многих сенсоров.

Луч света падает на плоское зеркало. Угол между падающим лучом и поверхностью зеркала равен $35^\circ$. Найдите (а) угол отражения и (б) угол между падающим и отражённым лучами.

Свет, распространяющийся в воде ($n_1=1.33$), падает на границу вода–стекло под углом падения $40.0^\circ$. Показатель преломления стекла $n_2=1.52$. Найдите угол преломления. Если длина волны в вакууме равна $600\,\mathrm{nm}$, найдите скорость и длину волны света в стекле.

Оптическое волокно имеет сердцевину с $n_1=1.50$ и оболочку с $n_2=1.45$. (а) Найдите критический угол на границе сердцевина–оболочка. (б) Луч внутри сердцевины падает на границу под углом $80^\circ$ к нормали. Удерживается ли он полным внутренним отражением? (в) Что произойдёт, если угол падения уменьшится до $70^\circ$?

Используйте симуляцию PhET Bending Light (или аналогичный симулятор лучевой оптики). Установите верхнюю среду — воздух ($n=1.00$), нижнюю — воду ($n=1.33$). Меняйте угол падения от $10^\circ$ до $80^\circ$ с шагом $10^\circ$; для каждого угла записывайте $\theta_1$, $\theta_2$ и вычисляйте $\sin\theta_1$ и $\sin\theta_2$. Постройте график зависимости $\sin\theta_2$ от $\sin\theta_1$ и убедитесь, что наклон прямой равен $n_1/n_2$ в пределах погрешности отсчёта. Затем поменяйте среды местами (вода сверху, воздух снизу) и медленно увеличивайте $\theta_1$, пока преломлённый луч не исчезнет; запишите критический угол и сравните его с $\arcsin(1/1.33)\approx 48.8^\circ$. Не используйте настоящую лазерную указку: прямое попадание даже слабого пучка в глаз опасно, а симуляция даёт те же углы без риска.

Сделать наглядной геометрию отражения, преломления и полного внутреннего отражения: показать нормаль, падающий, отражённый и преломлённый лучи и увидеть, что за критическим углом преломлённый луч исчезает.

Размеченный рисунок из двух панелей. Панель А: горизонтальная граница между средой 1 (сверху, $n_1$) и средой 2 (снизу, $n_2$); штриховая вертикальная нормаль; падающий луч, образующий угол $\theta_1$ с нормалью; отражённый луч под углом $\theta_1'=\theta_1$; преломлённый луч, отклонённый к нормали под углом $\theta_2<\theta_1$ при $n_2>n_1$. Панель Б: та же граница, но свет идёт из более плотной среды 1 в менее плотную среду 2; угол $\theta_1$ изображён больше критического угла $\theta_c$, преломлённый луч отсутствует, остаётся только отражённый луч с подписью «полное внутреннее отражение».

Пловец лежит на глубине 1,5 м под водой и смотрит вверх. Показатель преломления воды $n_1 = 1.33$, воздуха над ней $n_2 = 1.00$. Видимое небо укладывается в круг с углом полраствора $\theta_c = \arcsin(1.00/1.33) = 48.8^\circ$; за пределами этого круга поверхность работает как зеркало и отражает дно бассейна и собственные ноги пловца.

Закон Снеллиуса $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ решается относительно луча, прошедшего в воздух: при $\theta_1 > \theta_c$ ни один действительный угол $\theta_2$ ему не удовлетворяет ($\sin\theta_2 > 1$), прошедшая волна исчезает и остаётся только отражённый луч — полное внутреннее отражение.

Оптоволоконный кабель длиной 12 км передаёт сигнал с длиной волны 1550 нм. Сердцевина имеет $n_1 = 1.48$, оболочка $n_2 = 1.46$, поэтому критический угол на границе с оболочкой равен $\theta_c = \arcsin(1.46/1.48) = 80.6^\circ$. Луч, вошедший в торец внутри апертурного конуса, падает на стенку под углом больше $80.6^\circ$ к нормали и идёт по всей длине 12 км, теряя лишь около 0,2 дБ/км на поглощение.

Закон отражения задаёт угол на каждом отражении от стенки, а условие полного внутреннего отражения $\sin\theta_c = n_2/n_1$ удерживает луч внутри сердцевины и не даёт ему уйти в оболочку.

Прямая соломинка стоит в стакане с водой глубиной 8 см. Свет от точки на соломинке приходит к поверхности под углом $\theta_1 = 45^\circ$ к нормали в воде ($n_1 = 1.33$) и выходит в воздух ($n_2 = 1.00$) под углом $\theta_2 = \arcsin(1.33\sin 45^\circ) = 70.2^\circ$, сильно отклоняясь от нормали. Глаз продолжает лучи прямолинейно и помещает эту точку примерно на $8/1.33 = 6$ см, поэтому соломинка выглядит изломанной и смещённой.

Закон Снеллиуса $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$: при выходе в оптически менее плотную среду луч отклоняется от нормали, и угол выхода больше угла падения.