Закон радиоактивного распада и период полураспада

Распад отдельного ядра — событие случайное, но для макроскопического образца число ещё не распавшихся ядер убывает закономерно, по экспоненциальному закону

$$N(t)=N_0 e^{-\lambda t},$$

где $N_0$ — начальное число ядер, а $\lambda$ — постоянная распада, то есть вероятность распада одного ядра за единицу времени.

Период полураспада $T_{1/2}$ — это время, за которое распадается половина имеющихся ядер; он связан с постоянной распада соотношением

$$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}\approx\frac{0{,}693}{\lambda}.$$

Из закона распада следует, что за каждые $T_{1/2}$ ядер остаётся вдвое меньше: $N_0 \to N_0/2 \to N_0/4 \to N_0/8$ и так далее, поэтому вместо $e^{-\lambda t}$ часто удобно писать $N=N_0\left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$. Экспонента не обращается в нуль за конечное время, поэтому говорят не о полном распаде, а о доле распавшихся ядер. Скорость распада характеризуют активностью $A=\lambda N=A_0 e^{-\lambda t}$, измеряемой в беккерелях ($1\ \text{Бк}=1\ \text{распад/с}$), а величина $\tau=1/\lambda$ называется средним временем жизни ядра.

Образец содержит $N_0=8{,}0\cdot10^{20}$ ядер изотопа с периодом полураспада $T_{1/2}=5{,}27$ года. Сколько ядер останется через 15,81 года?

В момент $t=0$ активность препарата равна $4000$ распадов/с, а через $6{,}0$ ч — $500$ распадов/с. Найдите период полураспада этого изотопа.

Активность углерода-14 в образце древней древесины составляет 0,30 от активности такого же количества углерода в живом дереве. Период полураспада $^{14}$C равен 5730 лет. Оцените возраст образца и среднее время жизни ядра $^{14}$C.

Проведите безопасную имитацию распада, не используя реальные радиоактивные источники. Возьмите 100 одинаковых кубиков, высыпьте их из стакана на стол и считайте «распавшимися» те, что выпали, например, шестёркой (вероятность $1/6$ на один бросок).

1. Запишите номер броска и число оставшихся кубиков, верните их в стакан.
2. Повторите бросок 10–12 раз.
3. Постройте график зависимости числа оставшихся кубиков $N$ от номера броска.
4. Убедитесь, что за одинаковые интервалы число оставшихся уменьшается примерно в одно и то же число раз, и оцените «период полураспада» в бросках.
5. Для повышения точности объедините данные с 3–4 партнёрами или сравните результат с онлайн-симуляцией радиоактивного распада.

Показать, что убывание числа ядер подчиняется экспоненциальному закону, а не линейному, и что за каждый период полураспада остаётся ровно половина ядер.

График зависимости $N/N_0$ от времени $t$, выраженного в периодах полураспада $T_{1/2}$: плавная спадающая экспонента с отмеченными точками $(0;\,1)$, $(T_{1/2};\,0{,}5)$, $(2T_{1/2};\,0{,}25)$, $(3T_{1/2};\,0{,}125)$ и пунктирными линиями к осям; для сравнения рядом показана прямая, соответствующая линейному убыванию. Дополнительно — схема из 16 квадратиков-«ядер», где на каждом шаге закрашивается половина оставшихся: $16\to8\to4\to2$.

В старом доме находят дубовую балку. Образец углерода из неё массой $1.00\ \text{g}$ даёт активность $0.150\ \text{Bq}$; такое же количество углерода в живом дереве даёт $0.230\ \text{Bq}$. Период полураспада $^{14}\text{C}$ равен $5730\ \text{yr}$. Возраст балки нужно оценить по этим двум числам.

Активность пропорциональна числу нераспавшихся ядер, поэтому отношение активностей $0.150/0.230=0.652$ равно $N/N_0$. Закон распада $N=N_0 e^{-\lambda t}$ вместе с $\lambda=\ln 2/T_{1/2}$ даёт $t=\frac{T_{1/2}}{\ln 2}\ln\frac{N_0}{N}=\frac{5730}{0.693}\ln 1.53\approx 3500\ \text{yr}.$ Здесь работает именно экспоненциальный закон и связь постоянной распада с периодом полураспада, а не линейное убывание.

В $08{:}00$ в шприце больницы находится $800\ \text{MBq}$ технеция-$99\text{m}$ с периодом полураспада $6.01\ \text{h}$. Пациента можно принять не позже, чем активность упадёт до $100\ \text{MBq}$, иначе препарата в дозе окажется слишком мало.

Каждый период полураспада уменьшает активность ровно вдвое: $800\to 400\ \text{MBq}$ к $14{:}00$ и $400\to 200\ \text{MBq}$ к $20{:}00$. Соотношение $A=\lambda N$ и $\lambda=\ln 2/T_{1/2}$ дают $\lambda=\frac{0.693}{6.01\ \text{h}}=0.115\ \text{h}^{-1}=3.2\times 10^{-5}\ \text{s}^{-1}$, а $A=A_0 e^{-\lambda t}$ затем прямо предсказывает, что за $12\ \text{h}$ активность падает до $200\ \text{MBq}$.

В датчике дыма стоит источник $^{241}\text{Am}$ с активностью $33\ \text{kBq}$ и периодом полураспада $432\ \text{yr}$. Нужно оценить, сколько ядер и какая масса америция находятся внутри такой крошечной капсулы.

Постоянная распада находится из периода полураспада: $\lambda=\frac{\ln 2}{432\ \text{yr}}=\frac{0.693}{1.36\times 10^{10}\ \text{s}}=5.1\times 10^{-11}\ \text{s}^{-1}$. Тогда $N=A/\lambda=\frac{3.3\times 10^{4}}{5.1\times 10^{-11}}\approx 6.5\times 10^{14}$ ядер, а масса $m=\frac{N M}{N_A}=\frac{6.5\times 10^{14}\cdot 241}{6.02\times 10^{23}}\approx 2.6\times 10^{-7}\ \text{g}=0.26\ \mu\text{g}$. Здесь используются и связь $A=\lambda N$, и формула $\lambda=\ln 2/T_{1/2}$: большое число ядер при малой активности объясняется огромным периодом полураспада.