Квантованные уровни энергии и атомные спектры

Модель Бора заменяет непрерывный набор энергий электрона в атоме дискретным набором стационарных уровней $E_1, E_2, E_3,\dots$. Для водорода эти уровни приближённо равны $E_n=-13.6/n^2$ (в эВ), поэтому атом может поглощать или излучать энергию только порциями, равными разности двух уровней. Когда электрон переходит с верхнего уровня $n_i$ на нижний $n_f$, излучается фотон с энергией $hf=E_{n_i}-E_{n_f}=hc/\lambda$. Наоборот, фотон поглощается только тогда, когда его энергия точно совпадает с энергией перехода вверх; поэтому холодный газ вырезает из непрерывного спектра узкие тёмные линии. Поскольку разрешённые энергии дискретны, возникающие спектры испускания и поглощения состоят из отдельных линий, а не из непрерывной радуги. Совокупность линий служит «отпечатком пальцев» элемента, а для водорода линии серии Бальмера подчиняются формуле Ридберга $1/\lambda=R_H(1/2^2-1/n^2)$ при $n=3,4,5,\dots$.

Для атома водорода рассчитайте энергию (в эВ и Дж) и длину волны фотона, излучаемого при переходе электрона с $n=3$ на $n=2$. Используйте $E_n=-13.6/n^2$ (эВ), $h=6.626\times10^{-34}$ (Дж·с), $c=3.00\times10^8$ (м/с), и $1\ \text{эВ}=1.602\times10^{-19}\ \text{Дж}$.

Гипотетический атом имеет три уровня энергии: $E_1=-6.0$ эВ, $E_2=-3.0$ эВ и $E_3=-1.5$ эВ. Перечислите все возможные энергии и длины волн фотонов испускания и укажите, какие из них лежат в видимом диапазоне (380–750 нм). Используйте $\lambda(\text{nm}) = 1240/E(\text{eV})$.

В спектре туманности наблюдаются яркие линии на длинах волн 656.3 нм, 486.1 нм и 434.0 нм. Предполагая, что это линии серии Бальмера водорода (переходы с окончанием на $n=2$), определите главное квантовое число $n$ верхнего уровня для каждой линии и подтвердите квантование уровней. Используйте $R_H = 1.097\times10^{-2}$ нм$^{-1}$ и $1/\lambda=R_H(1/2^2-1/n^2)$.

Безопасное самостоятельное занятие: используйте бесплатную онлайн-симуляцию, например PhET «Модели атома водорода» или приложение по атомным спектрам. Не работайте с настоящими газоразрядными трубками и ультрафиолетовыми источниками. Включите в симуляции показ энергетических уровней и спектра. Вызовите переходы $n=3\to2$, $n=4\to2$ и $n=5\to2$, записывайте длину волны каждого излучаемого фотона в таблицу. Сравните полученные значения с расчётом $\lambda = 1240/\Delta E$ по $E_n=-13.6/n^2$ (эВ). Затем нарисуйте диаграмму энергетических уровней с тремя переходами и полосу спектра с соответствующими линиями.

Связать дискретные энергетические уровни с наблюдаемыми спектральными линиями: показать, что энергия каждого фотона равна разности уровней, а каждой разности соответствует одна линия с определённой длиной волны.

Вертикальная диаграмма энергетических уровней водорода с уровнями $n=1,2,3,4,5$; стрелками вниз, подписанными $3\to2$, $4\to2$, $5\to2$, с указанием энергии фотона; под диаграммой — горизонтальная полоса спектра, выровненная так, что каждая стрелка проецируется на цветную линию при 656 нм, 486 нм и 434 нм на оси длин волн.

Лампа низкого давления мощностью $150\ \text{Вт}$ освещает дорогу. Через ручной спектроскоп видно почти одну яркую жёлтую линию с длинами волн $589{,}0\ \text{нм}$ и $589{,}6\ \text{нм}$. Каждый фотон несёт энергию $E = hc/\lambda = (6{,}63\times10^{-34}\ \text{Дж·с})(3{,}00\times10^{8}\ \text{м/с})/(589\times10^{-9}\ \text{м}) = 3{,}38\times10^{-19}\ \text{Дж} \approx 2{,}11\ \text{эВ}$; за секунду лампа испускает около $4\times10^{20}$ таких фотонов.

Лампа не даёт непрерывной радуги: атом натрия может находиться лишь в дискретном наборе состояний, поэтому электрон, переходящий с уровня $3p$ на уровень $3s$, испускает фотон строго с разностью энергий этих уровней $h\nu = E_{3p} - E_{3s}$. Далеко видная жёлтая линия — прямое измерение квантованного зазора между уровнями.

В лаборатории водородная трубка даёт красную линию $H_\alpha$ при $656\ \text{нм}$ ($E = 1240/656 = 1{,}89\ \text{эВ}$, переход $n=3 \to n=2$, что совпадает с $13{,}6(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{9}) = 1{,}89\ \text{эВ}$). В спектре галактики та же линия стоит на $700\ \text{нм}$, то есть $z = (700-656)/656 = 0{,}067$, а значит галактика удаляется со скоростью около $0{,}067c \approx 2{,}0\times10^{4}\ \text{км/с}$.

Каждый атом водорода имеет одинаковый набор уровней, поэтому набор спектральных линий — это «отпечаток» элемента, одна и та же разность $E_3 - E_2$ в любой галактике. Сдвиг всей картины линий (эффект Доплера) используется как линейка скоростей; формула линий $h\nu = E_n - E_m$ здесь и есть теория квантованных уровней.

Пиротехник добавляет в заряды соли разных металлов: стронций даёт красную линию $606\ \text{нм}$ ($E = 2{,}05\ \text{эВ}$), барий — зелёную $514\ \text{нм}$ ($E = 2{,}41\ \text{эВ}$), медь — синюю $455\ \text{нм}$ ($E = 2{,}73\ \text{эВ}$). Порох нагревает соли до $1500$–$2500\ \text{K}$, атомы возбуждаются соударениями и затем высвечивают эти линии.

Нагрев даёт атомам энергию, но испускают они только фотоны с энергиями разрешённых переходов, поэтому цвет каждой вспышки задан разностями уровней конкретного элемента, а не температурой. Проверка: $E = hc/\lambda$ переводит измеренную длину волны в разность энергий уровней.