Давление в твёрдых телах, жидкостях и газах: единый подход

Давление — скалярная величина, определяемая у поверхности как модуль нормальной составляющей силы, делённый на площадь её действия:

$$p = \frac{F_\perp}{A}.$$

В СИ единица давления — паскаль, $1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2$, поэтому $1\ \text{kPa} = 10^3\ \text{Pa}$, а $1\ \text{MPa} = 10^6\ \text{Pa}$.

Давление — не то же самое, что сила: одна и та же сила, распределённая по большей площади, даёт меньшее давление, поэтому делают широкие фундаменты и лыжи. В покоящейся жидкости давление в данной точке одинаково по всем направлениям (закон Паскаля), так что для его описания достаточно скаляра $p$, тогда как в твёрдом теле напряжение на выбранной площадке зависит от её ориентации.

Для однородной жидкости плотности $\rho$ в равновесии условие равновесия столба высотой $h$ и площадью $A$ даёт

$$p = p_0 + \rho g h,$$

где $p_0$ — внешнее давление на свободной поверхности, а $\rho g h$ — избыточное (манометрическое) давление. В газах баланс тот же, но плотность меняется с высотой, поэтому линейная формула — лишь хорошее локальное приближение; микроскопически давление газа создаётся ударами молекул о стенки.

Ящик массой $m = 12\ \text{kg}$ стоит на горизонтальном полу на грани площадью $A = 0.030\ \text{m}^2$. Считайте $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. Найдите давление, которое ящик оказывает на пол. Каким оно станет, если перевернуть ящик на грань площадью $0.060\ \text{m}^2$?

Открытый сверху бак заполнен водой на глубину $h = 5.0\ \text{m}$; плотность воды $\rho = 1000\ \text{kg/m}^3$, $g = 9.8\ \text{m/s}^2$, атмосферное давление $p_0 = 101\ \text{kPa}$. Найдите избыточное и абсолютное давление у дна, а также силы, действующие на горизонтальный люк площадью $A = 0.50\ \text{m}^2$ в дне: со стороны воды и со стороны наружного воздуха, и их равнодействующую.

В гидравлическом подъёмнике малый поршень имеет площадь $A_1 = 20\ \text{cm}^2$, а большой — $A_2 = 400\ \text{cm}^2$. На большом поршне лежит груз массой $M = 600\ \text{kg}$, который нужно поднять на $d_2 = 2.0\ \text{cm}$. Жидкость несжимаема и покоится, $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. Найдите: (а) давление в жидкости, (б) необходимую силу на малом поршне, (в) перемещение малого поршня, (г) проверьте баланс работы.

План самостоятельной работы с моделью (заменяет опасные измерения с сосудами под давлением и ртутью).

1. Откройте в браузере модель PhET Under Pressure (Fluid Pressure and Flow) и выберите воду.
2. Задайте атмосферное давление $p_0 = 101\ \text{kPa}$ и запишите в таблицу показания датчика давления на глубинах $h = 1, 2, 3, 4, 5\ \text{m}$.
3. Вычтите $p_0$ и постройте график зависимости $p - p_0$ от $h$. Убедитесь, что точки ложатся на прямую, и найдите её угловой коэффициент; сравните его с $\rho g = 9.8\ \text{kPa/m}$.
4. Переключите плотность жидкости, например на $800\ \text{kg/m}^3$, повторите измерения и проверьте, что отношение угловых коэффициентов равно отношению плотностей.
5. Поместите пробную площадку-датчик в одну точку и поверните её: убедитесь, что давление не зависит от ориентации (закон Паскаля), и сравните это с твёрдым телом.
6. Безопасная бытовая проверка (без нагрева, без сжатых газов): положите книгу известной массы на два разных плоских листа картона и сравните вычисленные значения $p = mg/A$.

Показать, что в твёрдом теле давление зависит от площади, по которой распределена сила, а в покоящейся жидкости в данной точке давление одинаково по всем направлениям и линейно растёт с глубиной.

Схема из трёх частей. (1) Один и тот же брусок стоит сначала на узкой, затем на широкой опоре; подписаны сила $F$, площади $A$ и $2A$ и формулы $p = F/A$ и $p = F/(2A)$. (2) Точка внутри жидкости, из неё выходят стрелки одинаковой длины в нескольких направлениях, все подписаны $p$ — иллюстрация закона Паскаля. (3) График зависимости давления от глубины: прямая линия с угловым коэффициентом $\rho g$, пересекающая ось давления в точке $p_0$.

Нападающий массой $m = 70$ кг в момент удара опирается на одну ногу. Его вес $F = mg \approx 690$ Н передаётся газону через шесть шипов площадью $1{,}0$ см$^2$ каждый, то есть суммарно $A = 6{,}0\times10^{-4}$ м$^2$. Давление под шипами $p = F/A \approx 1{,}2\times10^{6}$ Па — примерно в 33 раза больше, чем $3{,}5\times10^{4}$ Па под подошвой кроссовки без шипов площадью $0{,}020$ м$^2$.

Работает определение давления в твёрдом теле: $p = F_\perp/A$, где $F_\perp$ — нормальная сила, взятая из диаграммы свободного тела (реакция опоры равна по модулю весу), а $A$ — реальная площадь контакта. Уменьшая площадь опоры, шипы во столько же раз увеличивают давление и потому врезаются в грунт.

Грузовик массой $3{,}0\times10^{4}$ кг стоит на десяти колёсах, его вес $F = mg \approx 2{,}9\times10^{5}$ Н. Пятно контакта каждого колеса с асфальтом равно $0{,}030$ м$^2$, суммарная площадь $A = 0{,}30$ м$^2$, поэтому среднее давление на дорогу $p = F/A \approx 9{,}7\times10^{5}$ Па, то есть около $1{,}0$ МПа. Манометр при этом показывает давление воздуха внутри шины порядка $8\times10^{5}$ Па.

Один и тот же закон $p = F/A$ действует в двух средах: в твёрдом контакте шина давит на асфальт нормальной силой, а внутри шины давление газа создаётся ударами молекул воздуха о стенки. Именно большая площадь контакта снижает давление на покрытие, поэтому тяжёлые машины ставят на широкие шины и на много осей.

В скороварке объёмом $5{,}0$ л вода кипит не при $100$ °C, а при $120$ °C: клапан удерживает давление внутри около $p = 2{,}0\times10^{5}$ Па, вдвое выше атмосферного $1{,}0\times10^{5}$ Па. Клапан площадью $A = 8{,}0$ мм$^2 = 8{,}0\times10^{-6}$ м$^2$ открывается, когда сила давления пара превышает вес груза: $F = \Delta p\,A = 1{,}0\times10^{5}\times 8{,}0\times10^{-6} = 0{,}80$ Н, что соответствует грузу массой $80$ г.

Давление газа здесь — это средняя сила ударов молекул пара о единицу площади стенки, то есть то же $p = F/A$; это давление передаётся и жидкости, и стенкам сосуда. Сила, поднимающая клапан, вычисляется как произведение давления на площадь, поэтому маленькая площадь клапана позволяет удерживать заметное давление небольшим грузом.