Потенциальная энергия и закон сохранения механической энергии

Из курса о работе и кинетической энергии известно, что работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии: $W=\Delta K$.

Для консервативных сил работу удобно записывать через убыль потенциальной энергии: $W=-\Delta U$.

В однородном поле тяжести $U_g=mgh$, а для упругой пружины $U_s=\frac12 kx^2$, где $x$ — деформация от недеформированного состояния.

Полная механическая энергия $E=K+U$ сохраняется, если работа неконсервативных сил равна нулю: $E_1=E_2$.

Например, $\frac12mv_1^2+mgh_1+\frac12kx_1^2=\frac12mv_2^2+mgh_2+\frac12kx_2^2$.

Если действует трение или внешняя сила, используйте баланс $W_{\text{неконс}}=\Delta E=E_2-E_1$.

Мяч массой $m=0{,}50$ кг отпускают без начальной скорости с высоты $h=2{,}0$ м. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите скорость мяча непосредственно перед ударом о землю.

Брусок массой $m=0{,}20$ кг начинает скользить без трения с высоты $h=1{,}5$ м и на горизонтальном гладком участке сжимает пружину жёсткостью $k=250$ Н/м. Найдите максимальное сжатие пружины $x$.

Лыжник массой $m=60$ кг начинает спуск без начальной скорости с высоты $h=20$ м. У подножия его скорость равна $v=15$ м/с. Найдите работу силы трения и сопротивления на всём спуске.

Используйте безопасную симуляцию PhET «Energy Skate Park: Basics» или аналогичную. 1) Выключите трение, задайте начальную высоту и запишите $h$ и $v$ в двух точках; вычислите $K$, $U$, $E=K+U$ и проверьте $E_1=E_2$. 2) Включите трение и сравните $E_1$ и $E_2$; найдите $W_{\text{неконс}}=E_2-E_1$. Не выполняйте реальные прыжки, спуски или измерения с движущимися грузами; все наблюдения проводите в симуляции.

Показать обмен кинетической и потенциальной энергии и постоянство полной механической энергии при отсутствии трения.

Схема скейт-трека или маятника с тремя отмеченными положениями и столбиковые диаграммы энергии: $K$, $U$, $E=K+U$ в каждом положении; при включённом трении итоговый столбик $E$ ниже начального.

Лыжник массой $70\ \mathrm{kg}$ начинает движение почти из состояния покоя с высоты $40\ \mathrm{m}$ над точкой отрыва. Если пренебречь трением и сопротивлением воздуха, то его гравитационная потенциальная энергия равна $U=mgh=70\cdot9.8\cdot40=27\,440\ \mathrm{J}$. У точки отрыва эта энергия переходит в кинетическую: $K=\frac{1}{2}mv^2$, поэтому $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot9.8\cdot40}\approx28\ \mathrm{m/s}\approx100\ \mathrm{km/h}$.

Здесь работает сохранение механической энергии: пока работу совершает только сила тяжести, сумма $E=K+U$ остаётся постоянной. Гравитационная потенциальная энергия $U=mgh$ переходит в кинетическую $K=\frac{1}{2}mv^2$; масса сокращается при вычислении скорости.

Автомобиль массой $1200\ \mathrm{kg}$ начинает спуск с высоты $25\ \mathrm{m}$ со скоростью $5\ \mathrm{m/s}$. Если пренебречь сопротивлением качению, то у подножия скорость находится из $\frac{1}{2}mv_i^2+mgh=\frac{1}{2}mv_f^2$: $v_f=\sqrt{v_i^2+2gh}=\sqrt{25+2\cdot9.8\cdot25}\approx22.7\ \mathrm{m/s}\approx82\ \mathrm{km/h}$.

Это задача на сохранение механической энергии с начальной кинетической энергией. Слагаемое $mgh$ задаёт запас потенциальной энергии, который добавляется к начальной $\frac{1}{2}mv_i^2$ и переходит в конечную $\frac{1}{2}mv_f^2$.

Смартфон массой $0.18\ \mathrm{kg}$ падает со стола высотой $0.80\ \mathrm{m}$. Перед ударом о пол его потенциальная энергия относительно пола была $U=mgh=0.18\cdot9.8\cdot0.80=1.41\ \mathrm{J}$, а скорость без учёта сопротивления воздуха равна $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot9.8\cdot0.80}=3.96\ \mathrm{m/s}$.

До удара механическая энергия сохраняется: $U=mgh$ переходит в $K=\frac{1}{2}mv^2$. В момент удара работают неконсервативные силы — деформация корпуса, звук и нагрев, поэтому механическая энергия уже не сохраняется и переходит во внутреннюю энергию.