Энергия и импульс фотона

Интерференция, дифракция и поляризация показывают, что свет обладает волновыми свойствами, но обмен энергией с веществом происходит дискретными порциями.

Эйнштейн предположил, что свет распространяется и поглощается квантами с энергией $E = h\nu = hc/\lambda$, где $h$ — постоянная Планка, $\nu$ — частота, $\lambda$ — длина волны.

Специальная теория относительности даёт связь энергии и импульса $E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2$.

Для фотона $m_0 = 0$ (фотон не может покоиться), поэтому $E = pc$, откуда импульс $p = E/c = h/\lambda$.

Направление импульса совпадает с направлением распространения света, что проявляется в давлении света и в эффекте Комптона.

Таким образом, фотон — безмассовая частица, но с ненулевым импульсом, и его энергия и импульс связаны через скорость света $c$.

Найдите энергию (в джоулях и электрон-вольтах) и импульс фотона с длиной волны $\lambda = 500$ нм.

Лазерная указка мощностью $P=1.0$ мВт излучает свет с длиной волны $\lambda=650$ нм. (а) Сколько фотонов испускается за секунду? (б) Какую силу свет оказывает на чёрную поглощающую мишень, если пучок падает на неё целиком?

Электрон и позитрон покоятся и аннигилируют, рождая два одинаковых фотона, разлетающихся в противоположные стороны. Энергия покоя электрона $m_ec^2=0.511$ МэВ. Найдите энергию, импульс и длину волны каждого фотона.

План самостоятельной работы с симуляцией (безопасно, без реальных источников излучения).

1. Откройте PhET-симуляцию «Фотоэффект».
2. Выберите металл (например, натрий) и для длин волн 400, 450, 500, 550 и 600 нм запишите запирающее напряжение $V_s$.
3. Для каждой длины волны вычислите частоту $\nu=c/\lambda$, энергию фотона $E=h\nu$ и импульс $p=h/\lambda=E/c$; заполните таблицу.
4. Постройте график $eV_s$ от $\nu$. Тангенс наклона должен быть близок к постоянной Планка $h$, а пересечение с осью $\nu$ — к красной границе фотоэффекта.
5. Увеличьте интенсивность в два раза и убедитесь, что $V_s$ и энергия фотона не меняются, а фототок растёт. Объясните это через число фотонов в секунду $N=P/E$.
6. Сформулируйте вывод из 3–4 предложений, связывающий энергию и импульс фотона.

Показать, что энергия и импульс фотона растут с частотой (и убывают с длиной волны) и связаны соотношением $E=pc$, а также дать ориентиры по шкале электромагнитного спектра.

Двухпанельный рисунок.

(а) График зависимости $E$ от $\nu$: прямая с угловым коэффициентом $h$; на ней отмечены точки для радиоволн, видимого света, рентгеновского и гамма-излучения.

(б) Схема пучка фотонов: у каждого фотона вектор импульса $\vec p$ направлен вдоль луча, а длина вектора пропорциональна $1/\lambda$; рядом запись $E=pc=h\nu$.

Экран смартфона светится зелёным участком с длиной волны $\lambda = 550\ \text{nm}$ и отдаёт около $P = 0.10\ \text{W}$ зелёного света. Каждый фотон несёт $E = hc/\lambda = \frac{6.63\times10^{-34} \times 3.00\times10^{8}}{5.50\times10^{-7}} = 3.61\times10^{-19}\ \text{J} = 2.25\ \text{eV},$ поэтому экран испускает $N = P/E \approx 2.8\times10^{17}$ фотонов каждую секунду.

Здесь работает фотонное описание: $E = hf = hc/\lambda$ при $h = 6.63\times10^{-34}\ \text{J·s}$, и каждый фотон уносит импульс $p = E/c = h/\lambda = 1.20\times10^{-27}\ \text{kg·m/s}$. Умножение на число фотонов в секунду даёт полный импульс, уносимый за секунду, $3.3\times10^{-10}\ \text{kg·m/s}$, то есть силу давления света порядка $3\times10^{-10}\ \text{N}$ — поэтому телефон массой $0.20\ \text{kg}$ не отскакивает заметно.

Магнетрон микроволновой печи работает на частоте $f = 2.45\ \text{GHz}$, то есть $\lambda = c/f = 12.2\ \text{cm}$. Энергия одного фотона $E = hf = 6.63\times10^{-34} \times 2.45\times10^{9} = 1.62\times10^{-24}\ \text{J} = 1.01\times10^{-5}\ \text{eV}.$ Печь мощностью $800\ \text{W}$ посылает $N = P/E \approx 4.9\times10^{26}$ фотонов за секунду, и каждый из них несёт $p = E/c = 5.4\times10^{-33}\ \text{kg·m/s}$.

Понятие даёт обе формулы: $E = hf$ переводит измеренную частоту в энергию одного кванта, а $p = E/c$ показывает, что безмассовый квант всё же обладает импульсом. Значение $1.01\times10^{-5}\ \text{eV}$ объясняет, почему такие фотоны заставляют вращаться молекулы воды и греют еду, но не могут ионизовать атомы, у которых энергии ионизации порядка $1$–$10\ \text{eV}$.

Лазерный дальномер для гольфа посылает инфракрасный импульс с $\lambda = 905\ \text{nm}$, энергией $3.0\times10^{-7}\ \text{J}$ и длительностью $10\ \text{ns}$ до флага в $150\ \text{m}$ и засекает эхо. Один фотон такого импульса имеет $E = hc/\lambda = 2.20\times10^{-19}\ \text{J} = 1.37\ \text{eV}$, значит импульс содержит $3.0\times10^{-7}/2.20\times10^{-19} \approx 1.4\times10^{12}$ фотонов.

Каждый фотон несёт импульс $p = h/\lambda = 7.3\times10^{-28}\ \text{kg·m/s}$; при отражении строго назад импульс каждого фотона меняется на $2p$, и за $10\ \text{ns}$ свет давит на флаг с силой около $2.0\times10^{-7}\ \text{N}$. Та же формула $E = hc/\lambda$ задаёт энергию фотона, которую должен зарегистрировать детектор, поэтому для малошумящего сенсора выбирают ближний инфракрасный диапазон.