Маятники, колебания и резонанс: энергия и отклик системы

Маятник — это колебательная система, в которой возвращающая сила возникает из-за силы тяжести: при отклонении от положения равновесия появляется сила, направленная обратно к равновесию.

Для малых углов (примерно до $10^\circ$) период математического маятника равен $T=2\pi\sqrt{L/g}$ и не зависит от массы груза и почти не зависит от амплитуды — это свойство называют изохронностью.

Полная механическая энергия $E=\tfrac12 mv^2 + mgh$ сохраняется, если пренебречь трением: в крайних точках она чисто потенциальная, а в нижней точке — максимально кинетическая. Величина $\omega_0=\sqrt{g/L}$ называется собственной частотой и задаёт «предпочитаемый» ритм системы. Если на систему действует внешняя периодическая сила с частотой $\omega$, то при $\omega \to \omega_0$ амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает — это резонанс. Резонанс не создаёт энергию: он означает лишь, что работа внешней силы за каждый цикл максимальна и скорость подкачки энергии сравнивается со скоростью потерь. Трение (демпфирование) ограничивает высоту резонансного пика и слегка сдвигает его в сторону меньших частот.

Математический маятник имеет длину $L = 1.00$ м. Примите $g = 9.81$ м/с². Вычислите период $T$ и собственную частоту $f_0$. Изменится ли период, если массу груза увеличить вдвое?

Груз массой $m = 0.40$ кг на нити длиной $L = 1.50$ м отклоняют на угол $\theta = 10.0^\circ$ от вертикали и отпускают без начальной скорости. Найдите скорость груза в нижней точке и период колебаний. Сопротивлением воздуха пренебрегите.

Четыре маятника подвешены к общему горизонтальному стержню; длины нитей: $0.25$ м, $0.50$ м, $1.00$ м и $2.00$ м. Маятник длиной $1.00$ м раскачивают, и колебания через стержень слабо передаются остальным. Какой из остальных маятников отзовётся наибольшей амплитудой? Обоснуйте ответ через собственные частоты. Как можно было бы продемонстрировать настоящий резонанс в этой системе? Объясните роль демпфирования.

Цель: измерить собственную частоту маятника и увидеть резонансный отклик, не используя опасного оборудования.

Часть 1 (домашний маятник, безопасно). Привяжите к лёгкой нити длиной около $1.0$ м небольшой груз (монету, ключ, гайку массой до $50$ г) и закрепите нить скотчем или на крючке так, чтобы груз висел на высоте не менее $10$ см над полом и вдали от лица и мебели. Отклоните груз на малый угол (примерно $10^\circ$) и измерьте время $N = 10$ полных колебаний. Вычислите $T = t/N$ и $f_0 = 1/T$, сравните с $2\pi\sqrt{L/g}$. Повторите при другой длине нити и постройте график $T^2$ от $L$ — точки должны лечь на прямую с наклоном $4\pi^2/g$.

Часть 2 (симуляция для резонанса). Реальный вынужденный маятник требует генератора и опасных грузов, поэтому резонанс исследуйте в симуляции (например, PhET «Pendulum Lab» или «Resonance»). Задайте слабое демпфирование, плавно меняйте частоту вынуждающей силы от $0.2$ до $1.5$ Гц с шагом $0.1$ Гц, каждый раз дожидайтесь установившихся колебаний и записывайте амплитуду. Постройте график «амплитуда — частота», отметьте пик и сравните его положение с рассчитанной $f_0$. Затем увеличьте демпфирование и повторите: опишите, что стало с высотой и шириной пика.

Безопасность: не используйте тяжёлые грузы, не раскачивайте маятник рядом с лицом, стеклом или острыми предметами; вынужденные колебания с большой амплитудой моделируйте только на экране.

Показать связь между механической схемой осциллятора и его частотным откликом: где находится собственная частота и как демпфирование ограничивает резонансный пик.

Схема и график. Слева — маятник длиной $L$ с грузом, отклонённым на угол $\theta$, отмечены положения крайних точек, нижняя точка и высота $h = L(1-\cos\theta)$; рядом стрелками показаны сила тяжести и возвращающая составляющая. Справа — график зависимости амплитуды установившихся колебаний $A$ от частоты вынуждающей силы $f$: по оси $f$ отмечена собственная частота $f_0$; кривая с острым пиком соответствует слабому демпфированию, более низкая и широкая кривая — сильному; оба пика слегка смещены влево от $f_0$.

Подросток раскачивается на качелях с длиной подвеса $L = 2.5\ \text{м}$. За один полный цикл (вперёд и назад) качели проходят путь около $1.0\ \text{м}$ при максимальном отклонении от вертикали примерно $12^\circ$. Период таких качелей равен

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{2.5}{9.81}} \approx 3.2\ \text{с},$$

то есть частота $f = 1/T \approx 0.31\ \text{Гц}$ — примерно три колебания за десять секунд. Если на те же качели посадить младшего брата вдвое легче, период не изменится: оба будут качаться в такт.

Это режим малых колебаний маятника: возвращающая сила пропорциональна смещению ($F \approx -\frac{mg}{L}x$), движение описывается синусоидой, а период $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ не зависит ни от массы, ни от амплитуды.

Кузов легкового автомобиля опирается на четыре пружины; на одно колесо приходится масса $m = 350\ \text{кг}$, жёсткость пружины $k = 25\ 000\ \text{Н/м}$. Собственная частота подвески

$$f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{25\,000}{350}} \approx 1.35\ \text{Гц}.$$

После «лежачего полицейского» высотой $0.10\ \text{м}$ кузов качается с этой частотой, и амплитуда затухает за 2–3 колебания, то есть за $1.5$–$2.2\ \text{с}$.

Это гармонический осциллятор «масса на пружине»: энергия переходит из упругой $\frac{1}{2}kx^2$ в кинетическую $\frac{1}{2}mv^2$ и обратно, а частота задаётся отношением $k/m$; слабое трение в амортизаторах даёт затухание.

Барабан с бельём имеет массу $m = 20\ \text{кг}$ и подвешен на пружинах суммарной жёсткостью $k = 8\,000\ \text{Н/м}$, значит его собственная частота

$$f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{400} \approx 3.2\ \text{Гц}$$

или $190\ \text{об/мин}$. При разгоне до $1\,200\ \text{об/мин}$ ($20\ \text{Гц}$) машина проходит через $190\ \text{об/мин}$, и именно тогда корпус дрожит сильнее всего и «прыгает» по ванной.

Это резонанс: неравномерность белья даёт внешнюю силу с частотой вращения барабана, и когда эта частота совпадает с собственной частотой $f_0$ системы «барабан — пружины», амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает, а при уходе от резонанса снова падает.