Периоды маятников и энергия колебаний

Математический маятник — это груз массы $m$ на невесомой нити длиной $L$; при отклонении на угол $\theta$ возвращающая сила равна $-mg\sin\theta$.

При малых углах $\sin\theta\approx\theta$, поэтому $F\approx-\frac{mg}{L}x$ — квазиупругая сила с жёсткостью $k=mg/L$, и из динамики гармонического осциллятора $T=2\pi\sqrt{m/k}$ следует $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.$

Период не содержит массы и (при малых углах) амплитуды: он определяется только длиной нити и ускорением свободного падения. Энергия колебаний описывается той же моделью: $E=\tfrac12 kA^2=\tfrac12 m\omega^2 A^2$, где амплитуда вдоль дуги $A=L\theta_0$, а $\omega=2\pi/T$. В ходе колебаний энергия переходит из потенциальной в кинетическую и обратно, полная энергия сохраняется: $E=mgL(1-\cos\theta_0)\approx\tfrac12 mgL\theta_0^2$. Максимальная скорость достигается в нижней точке: $v_{\max}=\omega A=\theta_0\sqrt{gL}$; при углах больше примерно $15^\circ$ приближение $\sin\theta\approx\theta$ ухудшается, и период начинает расти с амплитудой.

Математический маятник имеет длину $L=1{,}00$ м. Найдите период его малых колебаний при $g=9{,}81$ м/с². Зависит ли ответ от массы груза?

Маятник длиной $L=0{,}50$ м с грузом $m=0{,}20$ кг отпускают из положения $\theta_0=8{,}0^\circ$ ($0{,}140$ рад). Найдите амплитуду вдоль дуги, максимальную скорость и полную энергию колебаний.

Маятник длиной $L=1{,}00$ м отпускают из положения $\theta_0=6{,}0^\circ$.

(а) Пользуясь сохранением энергии, найдите скорость груза в момент, когда нить образует угол $\theta=3{,}0^\circ$ с вертикалью.

(б) Во сколько раз изменится период, если тот же маятник перенести на Луну, где $g_{\text{Л}}=1{,}62$ м/с²?

Симуляция (безопасный план самостоятельной работы): откройте PhET «Маятник» (Pendulum Lab) или аналогичную симуляцию.

1. Установите $L=1{,}00$ м, $m=0{,}20$ кг, $\theta_0=5^\circ$. Измерьте время 10 полных колебаний и найдите $T$.
2. Повторите опыт при $L=0{,}25;\ 0{,}50;\ 1{,}00;\ 2{,}00$ м. Для каждого значения вычислите $\sqrt{L}$ и постройте график $T$ от $\sqrt{L}$ — должна получиться прямая, проходящая через начало координат.
3. При постоянной длине меняйте массу ($0{,}05;\ 0{,}20;\ 1{,}00$ кг) и убедитесь, что период не меняется.
4. Меняя $\theta_0=5^\circ,\ 15^\circ,\ 45^\circ$, зафиксируйте, при каком угле измеренный период заметно превышает $2\pi\sqrt{L/g}$.
5. Включите отображение энергии и опишите, как кинетическая и потенциальная энергии обмениваются за один период: где $E_k$ максимальна, где $E_p$ максимальна и чему равна их сумма.

Показать, что период малых колебаний определяется только длиной (график $T$ от $\sqrt{L}$ — прямая), и проиллюстрировать обмен кинетической и потенциальной энергией внутри одного периода.

Схема и графики.

1. Слева — маятник в трёх положениях: крайнее левое ($\theta_0$, $v=0$), нижнее ($0$, $v=v_{\max}$), крайнее правое ($-\theta_0$, $v=0$); стрелками показаны скорость и возвращающая сила $mg\sin\theta$.
2. В центре — столбики энергии для этих трёх точек: в крайних положениях вся энергия потенциальная ($E_p=E$), в нижней — вся кинетическая ($E_k=E$); сумма столбиков постоянна.
3. Справа — график зависимости периода $T$ от $\sqrt{L}$: экспериментальные точки ложатся на прямую $T=\frac{2\pi}{\sqrt{g}}\sqrt{L}$ с угловым коэффициентом $2\pi/\sqrt{g}$.

Ребёнок массой $30\ \text{кг}$ сидит на качелях с длиной подвеса $L=2.5\ \text{м}$. Его отводят назад так, что длина дуги от нижней точки равна $0.60\ \text{м}$, и отпускают. Угол отклонения $\theta = s/L = 0.60/2.5 = 0.24\ \text{рад}$ мал, поэтому период $T = 2\pi\sqrt{L/g} = 2\pi\sqrt{2.5/9.81} = 3.17\ \text{с}$. Десять полных колебаний занимают $31.7\ \text{с}$. Высота подъёма $h = L(1-\cos\theta) = 2.5(1-\cos 0.24) = 0.0717\ \text{м}$, максимальная скорость $v_{\max} = \sqrt{2gh} = 1.19\ \text{м/с}$, максимальная кинетическая энергия $E_k = \frac12 m v_{\max}^2 = 21.1\ \text{Дж}$; она равна максимальной потенциальной энергии $E_p = mgh = 21.1\ \text{Дж}$.

Здесь проверяются формула периода математического маятника $T=2\pi\sqrt{L/g}$ и закон сохранения механической энергии $E_k + E_p = \text{const}$; видно, что период не зависит от массы и (при малых углах) от амплитуды.

Маятник напольных часов настроен на период $T=2.00\ \text{с}$, поэтому каждое полуколебание длится $1.00\ \text{с}$. Из формулы $T=2\pi\sqrt{L/g}$ находим длину: $L = g(T/2\pi)^2 = 9.81(2/(2\pi))^2 = 0.994\ \text{м}$. Масса груза $m=0.50\ \text{кг}$, амплитуда $\theta_0 = 2.0^\circ = 0.0349\ \text{рад}$. Высота подъёма $h = L(1-\cos\theta_0) = 0.994(1-\cos 2^\circ) = 6.06\cdot10^{-4}\ \text{м}$, максимальная потенциальная энергия $E_p = mgh = 2.97\cdot10^{-3}\ \text{Дж} = 2.97\ \text{мДж}$, максимальная скорость $v_{\max} = \sqrt{2gh} = 0.109\ \text{м/с}$, и такая же максимальная кинетическая энергия $E_k = \frac12 m v_{\max}^2 = 2.97\ \text{мДж}$. Потери на трение и сопротивление воздуха за каждое полуколебание восполняются опусканием заводной гири.

Это приложение формул $T=2\pi\sqrt{L/g}$ и $h = L(1-\cos\theta_0)$ вместе с превращением $E_p \leftrightarrow E_k$ в маятнике; малость угла $2^\circ$ обосновывает гармоническое приближение.

Шар-копёр массой $m=1200\ \text{кг}$ подвешен на тросе длиной $L=15\ \text{м}$ и отведён на угол $\theta_0 = 10.0^\circ$. Его период $T = 2\pi\sqrt{L/g} = 2\pi\sqrt{15/9.81} = 7.77\ \text{с}$. Высота подъёма $h = L(1-\cos 10^\circ) = 15(1-0.9848) = 0.228\ \text{м}$, максимальная потенциальная энергия $E_p = mgh = 1200\cdot9.81\cdot0.228 = 2.68\cdot10^3\ \text{Дж} = 2.68\ \text{кДж}$. При прохождении нижней точки скорость $v_{\max} = \sqrt{2gh} = 2.12\ \text{м/с}$, а кинетическая энергия $E_k = \frac12 m v_{\max}^2 = 2.68\ \text{кДж}$; именно эта энергия передаётся стене при ударе.

Здесь работают те же формулы периода $T=2\pi\sqrt{L/g}$ и сохранения энергии; период зависит только от $L$ и $g$, но не от $m$, а энергия удара определяется высотой $h=L(1-\cos\theta_0)$.