Путь, перемещение и система отсчёта: как точно описать движение

Механическое движение описывают только вместе с системой отсчёта: телом отсчёта, связанной с ним системой координат и прибором для измерения времени.

Путь $s$ — скалярная величина, равная длине участка траектории, пройденного телом за рассматриваемый промежуток времени; путь неотрицателен и не уменьшается со временем.

Перемещение — вектор $\Delta\vec r = \vec r_2 - \vec r_1$, соединяющий начальное и конечное положения тела; в координатах на плоскости

$$\Delta\vec r = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1), \qquad |\Delta\vec r| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.$$

Так как кратчайшее расстояние между двумя точками — отрезок прямой, всегда выполнено $s \ge |\Delta\vec r|$, причём равенство достигается только при движении по прямой в одном направлении.

Путь и перемещение зависят от системы отсчёта по-разному: при переходе к другой системе отсчёта к перемещению добавляется постоянный вектор, а путь меняется только тогда, когда меняется сама траектория (например, из-за движения тела отсчёта). В СИ величины $s$, $|\Delta\vec r|$, $x$, $y$ измеряются в метрах (м).

Бегун движется по прямому треку: сначала из точки $x_1 = 20\ \text{м}$ в точку $x_2 = 140\ \text{м}$, затем обратно в точку $x_3 = 80\ \text{м}$. Найдите путь $s$ и перемещение за всё время движения.

Турист идёт 30 м на север, затем 40 м на восток, затем 30 м на юг. Система отсчёта связана с землёй: ось $Ox$ направлена на восток, ось $Oy$ — на север. Найдите путь и перемещение (модуль и направление).

Поезд движется на восток со скоростью $20\ \text{м/с}$ относительно земли. Пассажир идёт из хвоста вагона к голове со скоростью $2\ \text{м/с}$ относительно поезда и проходит вдоль вагона $6\ \text{м}$ за $3\ \text{с}$. Сравните путь и перемещение пассажира в системе отсчёта поезда и в системе отсчёта земли.

Безопасный план самостоятельной работы (без опасных измерений).

1. Откройте симуляцию PhET «The Moving Man» («Идущий человек») и включите график пройденного расстояния.
2. Задайте движение человека вперёд на $+5\ \text{м}$, затем назад в точку $0\ \text{м}$ и запишите пройденный путь $s$ и перемещение $\Delta x$ из симуляции.
3. Сравните полученные $s$ и $|\Delta\vec r|$: проверьте, выполняется ли $s \ge |\Delta\vec r|$.
4. Повторите опыт, выбрав движение по прямой в одну сторону; убедитесь, что теперь $s = |\Delta\vec r|$.
5. Затем «перенесите» движение в другую систему отсчёта: мысленно поместите тело отсчёта на платформу, движущуюся равномерно, и объясните, какие величины изменились, а какие остались теми же.

Записывайте результаты в таблицу: номер опыта, $s$, $\Delta x$, $|\Delta\vec r|$, вывод.

Показать разницу между длиной пути (длиной траектории) и перемещением (вектором из начальной точки в конечную) и подчеркнуть, что перемещение не зависит от формы траектории.

Схема: изогнутая траектория из точки $A(x_1, y_1)$ в точку $B(x_2, y_2)$; вдоль кривой подписана длина пути $s$; пунктирная стрелка $\vec{AB} = \Delta\vec r$, проведённая прямо из $A$ в $B$, с подписанным модулем $|\Delta\vec r|$; рядом отдельный чертёж с координатными осями $Ox$, $Oy$ и проекциями $\Delta x$, $\Delta y$ прямоугольного треугольника перемещения.

Спортсмен пробегает один круг стадиона длиной $400\,\mathrm{m}$ за $50\,\mathrm{s}$. Старт и финиш совпадают. Система отсчёта связана со стадионом, начало координат — на стартовой линии, поэтому координаты старта и финиша равны $(0,0)$.

Путь — скалярная сумма пройденных участков: $s=400\,\mathrm{m}$. Перемещение — вектор $\Delta \vec r=\vec r_f-\vec r_s$; здесь $\vec r_f=\vec r_s$, поэтому $\Delta \vec r=0$. Выбор системы отсчёта задаёт координаты $(0,0)$, но не меняет вывод: при совпадении начальной и конечной точек перемещение нулевое, а путь нет.

Автобус едет от дома до школы: $3.0\,\mathrm{km}$ на восток, затем $4.0\,\mathrm{km}$ на север, затрачивая $12\,\mathrm{min}$. Система отсчёта связана с домом: ось $x$ направлена на восток, ось $y$ — на север.

Путь равен сумме модулей участков: $s=3.0+4.0=7.0\,\mathrm{km}$. Перемещение — вектор $\Delta \vec r=(3.0\,\mathrm{km},4.0\,\mathrm{km})$; его модуль $|\Delta \vec r|=\sqrt{(3.0)^2+(4.0)^2}=5.0\,\mathrm{km}$. Так система отсчёта задаёт компоненты вектора, а путь от выбора осей не зависит.

Приложение в телефоне записывает велопрогулку: путь $12.0\,\mathrm{km}$ за $40\,\mathrm{min}$. Велосипедист стартует и финиширует у одного кафе. В системе отсчёта GPS-карты старт и финиш имеют одинаковые координаты, например $(0,0)$ в локальной плоской сетке.

Приложение строит путь как сумму малых участков трека: $s=12.0\,\mathrm{km}$. Перемещение $\Delta \vec r=\vec r_f-\vec r_s=(0,0)$ при возврате в ту же точку, хотя путь не равен нулю. Здесь система отсчёта — карта, связанная с Землёй; именно она позволяет записать начальную и конечную точки как координаты и вычислить вектор перемещения.