Закон Паскаля и гидростатика: давление в жидкостях

В покоящейся жидкости нет сдвиговых напряжений, поэтому в данной точке давление одинаково по всем направлениям и определяется как $p = F/A$.

С глубиной давление растёт:

$$p = p_0 + \rho g h,$$

где $p_0$ — давление на поверхности, $\rho$ — плотность жидкости, $h$ — глубина.

Избыточное (манометрическое) давление равно $\rho g h$, а абсолютное включает атмосферное $p_0$.

Закон Паскаля: изменение давления, созданное на границе замкнутой несжимаемой жидкости, передаётся без уменьшения во все точки жидкости и на стенки сосуда.

Поэтому в гидравлическом прессе $F_1/A_1 = F_2/A_2$, то есть сила во столько раз больше, во сколько больше площадь.

Несжимаемость требует $A_1 d_1 = A_2 d_2$, поэтому выигрыш в силе сопровождается проигрышем в перемещении: $F_1 d_1 = F_2 d_2$.

На какой глубине в воде избыточное давление равно 49 кПа? Примите $\rho = 1000$ кг/м³ и $g = 9.8$ м/с².

В гидравлическом прессе малый поршень площадью $A_1 = 1.0 \times 10^{-3}$ м² действует с силой $F_1 = 50$ Н. Площадь большого поршня $A_2 = 0.25$ м². Найдите силу $F_2$ и перемещение большого поршня, если малый поршень опустился на $d_1 = 0.20$ м.

В U-образной трубке покоятся вода и масло. В одном колене вода поднята до высоты $h_w = 0.20$ м над уровнем раздела, в другом масло — до высоты $h_o = 0.25$ м. Найдите плотность масла, если плотность воды $\rho_w = 1000$ кг/м³.

Безопасная модель гидравлического пресса. Возьмите два медицинских шприца разного диаметра без игл и соедините их гибкой трубкой, заполненной водой (без пузырей). Надавите на поршень малого шприца и заметьте, с какой силой выходит большой поршень; отметьте перемещения обоих поршней линейкой. Проверьте соотношения $F_2/F_1 = A_2/A_1$ и $d_1/d_2 = A_2/A_1$.

Симуляция для глубины. Так как измерять давление на большой глубине в быту опасно, используйте интерактивную симуляцию давления жидкости: меняйте глубину и плотность жидкости, записывайте $p$ и стройте график $p$ от $h$. Не используйте ртуть, открытое пламя и герметичные сосуды под давлением.

Показать, что давление в точке одинаково по всем направлениям, что оно линейно растёт с глубиной и что отношение сил в гидравлическом прессе равно отношению площадей поршней.

Схема из трёх частей: (1) сосуд с жидкостью и выделенной точкой, из которой выходят равные по длине стрелки во все стороны; (2) график $p$ от $h$ — прямая с угловым коэффициентом $\rho g$ и началом $p_0$; (3) два поршня площадями $A_1$ и $A_2$, соединённые жидкостью, со стрелками $F_1$ и $F_2$ и отмеченными перемещениями $d_1$ и $d_2$.

В автосервисе ученик качает ручной гидравлический домкрат. Он давит на малый поршень с силой $F_1=200\ \text{Н}$; площадь малого поршня $S_1=5\ \text{см}^2=5\cdot10^{-4}\ \text{м}^2$. Большой поршень имеет площадь $S_2=200\ \text{см}^2=0{,}020\ \text{м}^2$ и поднимает автомобиль массой $800\ \text{кг}$ (вес примерно $7{,}85\cdot10^3\ \text{Н}$). Малый поршень опускается на $h_1=0{,}20\ \text{м}$.

Сценарий использует закон Паскаля: давление $p=F_1/S_1=200/(5\cdot10^{-4})=4\cdot10^5\ \text{Па}$ передаётся без изменения по маслу на большой поршень. Тогда $F_2=pS_2=4\cdot10^5\cdot0{,}020=8{,}0\cdot10^3\ \text{Н}$, что больше веса $800\ \text{кг}$, поэтому автомобиль поднимается. Несжимаемость масла связывает перемещения: $S_1h_1=S_2h_2$, откуда $h_2=0{,}005\ \text{м}$.

Плотина удерживает воду глубиной $H=20\ \text{м}$. На глубине $h=20\ \text{м}$ манометрическое давление воды равно $p=\rho gh=1000\cdot9{,}81\cdot20=1{,}96\cdot10^5\ \text{Па}$. Абсолютное давление добавляет атмосферу: $p_{\text{абс}}=1{,}96\cdot10^5+1{,}01\cdot10^5=2{,}97\cdot10^5\ \text{Па}$. На каждый квадратный метр у дна вода давит с силой $F=pS=1{,}96\cdot10^5\ \text{Н}$.

Здесь работает гидростатический закон $p=\rho gh$: давление растёт линейно с глубиной, поэтому нижняя часть плотины толще и прочнее. Закон Паскаля добавляет, что на одной и той же глубине давление одинаково во всех направлениях, поэтому вода давит и перпендикулярно стенке, и вверх на затворы.

В бассейне пловец ныряет на глубину $h=10\ \text{м}$. Давление, создаваемое только водой, равно $p_{\text{воды}}=\rho gh=1000\cdot9{,}81\cdot10=9{,}81\cdot10^4\ \text{Па}$. Абсолютное давление с атмосферой около $1{,}99\cdot10^5\ \text{Па}\approx2\ \text{атм}$. На глубине $5\ \text{м}$ водяное давление только $4{,}9\cdot10^4\ \text{Па}$.

Сценарий тренирует гидростатическую формулу $p=\rho gh$ и закон Паскаля: давление воды передаётся во все стороны, поэтому барабанная перепонка чувствует дополнительное давление около $9{,}8\cdot10^4\ \text{Па}$ уже на $10\ \text{м}$. Сравнение $5\ \text{м}$ и $10\ \text{м}$ показывает линейную зависимость давления от глубины.