Движение частиц и температура: связь на молекулярном уровне

В молекулярно-кинетической модели вещество состоит из атомов и молекул, которые непрерывно и хаотично движутся, а температура служит макроскопической мерой интенсивности этого движения.

Для идеального газа средняя кинетическая энергия поступательного движения одной частицы прямо пропорциональна абсолютной температуре:

$$\langle E_k\rangle = \frac{3}{2}k_B T,$$

где $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\ \text{J/K}$, а $T$ выражается в кельвинах.

Из этой связи следует, что при одинаковой температуре средние кинетические энергии молекул любых газов равны, но более тяжёлые молекулы движутся медленнее:

$$v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}.$$

Скорости отдельных частиц неодинаковы — они распределены по закону Максвелла, поэтому говорят именно о средней энергии, а не о скорости каждой молекулы. Именно хаотичное движение объясняет броуновское движение, диффузию и давление газа на стенки: при нагревании частицы движутся быстрее, удары о стенки становятся сильнее и чаще, а диффузия ускоряется.

Температура идеального газа $T = 300$ К. Найдите среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы. Используйте $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\ \text{J/K}$.

Вычислите среднюю квадратичную скорость молекул азота $\text{N}_2$ при $T = 300$ К. Молярная масса азота $M = 28\ \text{g/mol}$, газовая постоянная $R = 8.31\ \text{J/(mol·K)}$.

В сосуде при $T = 300$ К находится смесь водорода ($M_1 = 2\ \text{g/mol}$) и кислорода ($M_2 = 32\ \text{g/mol}$). (а) Сравните средние кинетические энергии молекул этих газов. (б) Во сколько раз средняя квадратичная скорость молекул водорода больше, чем у кислорода? (в) Как изменится $v_{\mathrm{rms}}$ кислорода, если температуру повысить до $600$ К?

План самостоятельной работы с симуляцией (безопасно, без нагрева и химикатов).

1. Откройте симуляцию «Gas Properties» (PhET) и выберите режим с постоянным объёмом.
2. Введите небольшое число молекул и запишите начальную температуру $T$ и качественную картину движения («медленно», «быстро»).
3. Добавляйте теплоту и фиксируйте, что происходит с распределением скоростей: пик кривой смещается вправо и становится ниже, а средняя энергия растёт.
4. Проверьте численно: при $T = 300$ К посчитайте $\langle E_k\rangle = \frac{3}{2}k_B T$ и сравните с показаниями симуляции по порядку величины.
5. Замените газ на более тяжёлый (например, от гелия к аргону) при той же температуре и отметьте, что средняя энергия та же, а скорости меньше.

Наблюдение в быту (безопасно). Капните каплю чернил в стакан с холодной и с тёплой водой и сравните, как быстро окрашивание распространяется: это прямая демонстрация зависимости диффузии от скорости теплового движения частиц. Не используйте кипяток и не оставляйте опыт без присмотра.

Показать, что температура задаёт среднюю кинетическую энергию частиц, тогда как скорости отдельных частиц распределены в широком диапазоне (распределение Максвелла).

Эскиз, две части. Сверху — сосуд с частицами: у каждой стрелка скорости разной длины и направления, рядом подпись $\langle E_k\rangle = \frac{3}{2}k_B T$. Снизу — график распределения Максвелла: по оси абсцисс $v$, по оси ординат — доля молекул; две кривые для $T_1 < T_2$, где пик при большей температуре смещён вправо и ниже, а площадь под обеими кривыми одинакова.

В прохладном гараже при $15\ ^\circ\text{C}$ ($288$ К) шину накачали до $2{,}2\times10^5$ Па. Через час езды по летней трассе со скоростью $100$ км/ч воздух в шине прогрелся до $57\ ^\circ\text{C}$ ($330$ К), и манометр показал уже $2{,}5\times10^5$ Па. Объём шины и число молекул внутри практически не изменились.

Температура — мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул: $\bar{E}_k=\frac{3}{2}k_BT$. Для молекул азота ($m=28$ а.е.м.$\,=4{,}65\times10^{-26}$ кг) средняя квадратичная скорость $\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{3k_BT/m}$ равна $506$ м/с при $288$ К и $542$ м/с при $330$ К. Быстрые молекулы бьют в стенку чаще и сильнее, поэтому давление растёт: при постоянных $V$ и $N$ получаем $p\propto T$, то есть $2{,}2\times10^5\cdot\frac{330}{288}=2{,}5\times10^5$ Па — ровно то, что видит водитель.

В чайник налили $1{,}5$ л воды при $20\ ^\circ\text{C}$ ($293$ К) и довели её до кипения при $100\ ^\circ\text{C}$ ($373$ К). Температура в кельвинах выросла в $373/293=1{,}27$ раза. Средняя скорость молекул воды при этом поднялась с $637$ до $719$ м/с — всего на $13\%$.

Средняя кинетическая энергия одной молекулы воды растёт с $\bar{E}_k=\frac{3}{2}k_BT$ от $6{,}1\times10^{-21}$ Дж при $293$ К до $7{,}7\times10^{-21}$ Дж при $373$ К, то есть в $1{,}27$ раза. Скорость же пропорциональна $\sqrt{T}$, поэтому меняется слабее энергии. Видно и то, почему отсчёт надо вести от абсолютного нуля: «двойная» температура по Цельсию ($50\to100$) вовсе не означает удвоения энергии частиц, а вот $293\ \text{К}\to\ 586$ К означало бы именно удвоение.

Мяч накачали в тёплой раздевалке при $20\ ^\circ\text{C}$ ($293$ К) до давления $1{,}6\times10^5$ Па. Через час игры на улице при $2\ ^\circ\text{C}$ ($275$ К) мяч стал заметно мягче, и манометр в перерыве показал $1{,}5\times10^5$ Па, хотя воздух из мяча не выходил.

Охлаждение уменьшает среднюю кинетическую энергию молекул воздуха: $\bar{E}_k=\frac{3}{2}k_BT$ падает в $275/293=0{,}94$ раза, а средняя квадратичная скорость молекул азота — с $506$ до $494$ м/с. Молекулы реже и слабее ударяют в оболочку, и при неизменных объёме и числе частиц давление падает пропорционально абсолютной температуре: $1{,}6\times10^5\cdot\frac{275}{293}=1{,}5\times10^5$ Па. Число ударов о стенку за секунду, а с ним и сила давления, задаются именно температурой, а не «количеством воздуха».