Модели частиц в газах, жидкостях и твёрдых телах

Все тела состоят из частиц — атомов, ионов или молекул, — которые находятся в непрерывном тепловом движении, а температура служит мерой их средней кинетической энергии: $\langle E_k \rangle \propto T$, и для идеального газа $\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}k_B T$. Против теплового движения действуют силы притяжения между частицами, и именно соотношение тепловой энергии и энергии связи определяет, в каком состоянии находится вещество. В твёрдом теле частицы расположены упорядоченно, в узлах кристаллической решётки, расстояния между ними сравнимы с размером самих частиц, и они лишь колеблются около положений равновесия — поэтому твёрдое тело сохраняет и форму, и объём и почти не сжимается. В жидкости частицы тоже расположены близко (расстояния порядка размера частиц), но упорядоченность только ближняя, и частицы могут перескакивать с места на место, поэтому жидкость сохраняет объём, но принимает форму сосуда и практически несжимаема. В газе среднее расстояние между частицами во много раз больше их размера — при нормальных условиях $d \approx 10\,d_{\text{молек}}$ — силы притяжения почти не сказываются, частицы движутся прямолинейно до столкновения, поэтому газ заполняет весь предоставленный объём и легко сжимается. Для количественных оценок среднее расстояние между частицами удобно вычислять как $d \approx (V/N)^{1/3}$, где $V$ — объём, а $N$ — число частиц.

По описанию наблюдений определите состояние вещества и обоснуйте ответ через расстояние между частицами и свободу их движения:

(а) частицы образуют правильную решётку и колеблются около фиксированных положений равновесия;

(б) частицы расположены близко и беспорядочно, перескакивая друг относительно друга;

(в) частицы находятся далеко друг от друга и движутся прямолинейно до столкновений.

Порция газа содержит $N = 6{,}02\times10^{23}$ частиц и занимает объём $V = 24\ \mathrm{dm^3}$. Оцените среднее расстояние между частицами по формуле $d \approx (V/N)^{1/3}$ и сравните его с диаметром молекулы $d_{\text{молек}} \approx 3{,}5\times10^{-10}\ \mathrm{m}$. Какой вывод о доле объёма, занятой самими частицами, можно сделать?

Закрытый жёсткий стальной сосуд содержит воду и воздух над ней. Сосуд нагревают от $20\ ^\circ\mathrm{C}$ до $80\ ^\circ\mathrm{C}$. Используя модель частиц, предскажите и обоснуйте: (1) как изменится давление воздуха; (2) как изменится объём жидкости; (3) изменится ли среднее расстояние между частицами воздуха. Отдельно объясните, почему газ в таком сосуде сжимается поршнем легко, а жидкость — почти нет.

Безопасный план самостоятельной работы в симуляции. Не нагревайте закрытые сосуды и не создавайте давление дома — все наблюдения проводите в виртуальной лаборатории.

1. Откройте симуляцию состояний вещества (например, PhET «States of Matter: Basics» или аналогичную молекулярно-динамическую модель) и выберите вещество «вода».
2. Поочерёдно включите режимы «твёрдое тело», «жидкость», «газ». Для каждого состояния зафиксируйте в таблице: (а) упорядоченность расположения частиц, (б) среднее расстояние между частицами в единицах диаметра молекулы, (в) характер движения (колебания, перескоки, свободный полёт).
3. Медленно повышайте и понижайте температуру и отметьте, при каких условиях происходят переходы между состояниями и как при этом меняется средняя скорость частиц.
4. Дополнительно включите режим «сжатие»: подействуйте «поршнем» на газ и на жидкость и сравните, насколько легко меняется объём в каждом случае. Объясните результат через $d \approx (V/N)^{1/3}$.
5. Сделайте вывод одним абзацем: как расстояние между частицами и силы взаимодействия объясняют различия трёх состояний.

Показать в одном масштабе, как отличаются три состояния по упорядоченности, среднему расстоянию между частицами и свободе движения, и тем самым объяснить различия в сжимаемости и сохранении формы.

Схема из трёх одинаковых по размеру прямоугольников «Твёрдое тело | Жидкость | Газ». В каждом прямоугольнике — частицы в виде кружков: в твёрдом теле они образуют правильную решётку и снабжены короткими двусторонними стрелками колебаний; в жидкости расположены близко и беспорядочно, со стрелками перескоков между соседними положениями; в газе редкие кружки далеко друг от друга, со длинными прямыми стрелками скоростей и точками столкновений. Под рисунками — общая масштабная линейка с подписью $d \approx (V/N)^{1/3}$ и отметкой диаметра молекулы $d_{\text{молек}}$, чтобы было видно, что $d \gg d_{\text{молек}}$ только в газе. Справа — подписи: «сохраняет форму и объём», «сохраняет объём, принимает форму сосуда», «заполняет весь объём».

Внутренний объём шоссейной шины $4\times10^{-4}\ \text{м}^3$ ($0{,}4\ \text{л}$). Насос доводит давление до $8\times10^{5}\ \text{Па}$ при $293\ \text{К}$ — это около $0{,}13\ \text{моль}$, то есть примерно $8\times10^{22}$ молекул азота и кислорода, общей массой $3{,}8\ \text{г}$. Средняя скорость этих молекул при $293\ \text{К}$ равна $\sqrt{3RT/M}\approx 510\ \text{м/с}$, каждая за секунду пролетает сотни метров, но шину не покидает.

Работает модель газа: среднее расстояние между молекулами в десятки раз больше их размера ($\sim 0{,}3\ \text{нм}$), фиксированных мест нет, и частицы заполняют весь предоставленный объём. Отсюда два наблюдаемых факта: газ не имеет ни собственной формы, ни собственного объёма, а стенки шины испытывают непрерывные удары молекул.

$1\ \text{л}$ воды массой $1\ \text{кг}$ (плотность $1000\ \text{кг/м}^3$) налит в двухлитровую бутылку: вода занимает ровно $1\ \text{л}$, принимает форму нижней части бутылки, а её поверхность при наклоне остаётся горизонтальной. Если набрать воду в шприц и давить на поршень площадью $1\ \text{см}^2$ с силой $100\ \text{Н}$, давление вырастет на $\Delta p=\frac{F}{S}=10^{6}\ \text{Па}=1\ \text{МПа}$, а объём уменьшится всего на $\frac{\Delta p}{K}=\frac{10^{6}}{2{,}2\times10^{9}}\approx 0{,}05\ \%$.

Здесь применима модель жидкости: частицы упакованы почти вплотную, но не образуют жёсткой решётки и могут скользить друг относительно друга. Именно отсюда берутся два свойства из опыта — почти полная несжимаемость (объём фиксирован, $0{,}05\ \%$ против $100\ \%$ у газа) и текучесть (форма не фиксирована, вода повторяет форму бутылки).

Стальной рельс длиной $25\ \text{м}$ укладывают при $5\ ^\circ\text{C}$, а летом он нагревается до $35\ ^\circ\text{C}$, то есть $\Delta T=30\ \text{К}$. Для стали $\alpha=12\times10^{-6}\ \text{К}^{-1}$, значит $\Delta L=\alpha L\Delta T=12\times10^{-6}\times25\times30\approx 9\ \text{мм}$. Такой зазор и оставляют между рельсами: без него концы упрутся друг в друга, и путь выгнет вбок.

Это модель твёрдого тела: частицы удерживаются около фиксированных положений равновесия — узлов решётки — и лишь колеблются с амплитудой порядка $0{,}01\ \text{нм}$. При нагревании амплитуда колебаний растёт, среднее расстояние между соседними частицами немного увеличивается, поэтому тело сохраняет и форму, и объём, но всё же расширяется на $9\ \text{мм}$ на $25\ \text{м}$.