Энергия связи ядра и дефект массы

Ядро состоит из $Z$ протонов и $N$ нейтронов, но его масса меньше суммы масс отдельных нуклонов. Разность

$$\Delta m = Z m_p + N m_n - M_{\text{nuc}}$$

называется дефектом массы. По соотношению Эйнштейна $E = mc^2$ эта «недостающая» масса соответствует энергии, выделившейся при связывании нуклонов; её называют энергией связи ядра:

$$E_{\text{b}} = \Delta m\,c^2.$$

В ядерной физике массу удобно измерять в атомных единицах массы, а энергию — в электронвольтах, при этом $1\ \text{u}\cdot c^2 = 931.494\ \text{MeV}$. На практике в таблицах дают массы нейтральных атомов, поэтому вместо массы ядра удобно брать массу атома: тогда электроны учитываются автоматически, а их энергия связи (порядка кэВ) пренебрежимо мала по сравнению с $E_{\text{b}}$ (порядка МэВ). Устойчивость ядра характеризуют удельной энергией связи $E_{\text{b}}/A$: у большинства ядер она около $8\ \text{MeV}$ на нуклон, максимум лежит в области железа-56, а у лёгких ядер (дейтрон, гелий-4) заметно меньше.

Для дейтрона $^{2}\text{H}$ известны масса протона $m_p = 1.007276\ \text{u}$, масса нейтрона $m_n = 1.008665\ \text{u}$ и масса ядра $M_{\text{nuc}} = 2.013553\ \text{u}$. Найдите дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи.

В таблице дана масса нейтрального атома гелия-4: $M_{\text{atom}} = 4.002603\ \text{u}$. Используя массу атома водорода $m_{\text{H}} = 1.007825\ \text{u}$ и массу нейтрона $m_n = 1.008665\ \text{u}$, вычислите энергию связи ядра $^{4}\text{He}$ и удельную энергию связи. Объясните, почему можно работать с массами атомов, а не ядер.

Рассмотрите реакцию термоядерного синтеза

$$^{2}\text{H} + {}^{3}\text{H} \rightarrow {}^{4}\text{He} + n.$$

Массы атомов: $M(^{2}\text{H}) = 2.014102\ \text{u}$, $M(^{3}\text{H}) = 3.016049\ \text{u}$, $M(^{4}\text{He}) = 4.002603\ \text{u}$, масса нейтрона $m_n = 1.008665\ \text{u}$. Определите, выделяется или поглощается энергия, и найдите её величину в МэВ.

Самостоятельное построение кривой удельной энергии связи (только данные и симуляция, без радиоактивных образцов).

1. Откройте онлайн-симуляцию/интерактивную кривую энергии связи либо таблицу атомных масс (например, AME). Никакие радиоактивные вещества не нужны: вся работа вычислительная и безопасна.
2. Выпишите массы атомов для $^{2}\text{H}$, $^{4}\text{He}$, $^{12}\text{C}$, $^{56}\text{Fe}$, $^{238}\text{U}$ и массы $m_{\text{H}} = 1.007825\ \text{u}$, $m_n = 1.008665\ \text{u}$.
3. Для каждого нуклида вычислите $\Delta m$, $E_{\text{b}} = \Delta m\,c^2$ и $E_{\text{b}}/A$.
4. Постройте график $E_{\text{b}}/A$ от массового числа $A$ и отметьте на нём максимум.
5. Сформулируйте вывод: почему синтез лёгких ядер и деление тяжёлых ядер выделяют энергию.
6. Проверьте себя: сравните полученные значения с табличными ($^{2}\text{H}$: $2.22\ \text{MeV}$; $^{4}\text{He}$: $28.3\ \text{MeV}$; $^{56}\text{Fe}$: около $8.8\ \text{MeV}$ на нуклон).

Показать, как удельная энергия связи $E_{\text{b}}/A$ зависит от массового числа $A$ и где находится максимум устойчивости ядер.

Размеченный график-скетч: по горизонтальной оси — массовое число $A$ (от 1 до 240), по вертикальной — $E_{\text{b}}/A$ в $\text{MeV}$ на нуклон (от 0 до 9). Отмечены точки: $^{2}\text{H}$ ($1.11$), $^{4}\text{He}$ ($7.07$), $^{12}\text{C}$ (около $7.7$), $^{56}\text{Fe}$ (около $8.790$, вблизи максимума), $^{62}\text{Ni}$ (около $8.7945$, истинный максимум), $^{238}\text{U}$ (около $7.6$). Проведён горизонтальный пунктир на уровне $8.7945\ \text{MeV}$; стрелками показаны направления реакций: синтез — слева к максимуму, деление — справа к максимуму.

Каждую секунду Солнце превращает около $6\times10^{11}\ \mathrm{kg}$ водорода в гелий. Ядро гелия-4 легче четырёх протонов, из которых оно образовалось: дефект массы $\Delta m \approx 0.0304\ \mathrm{u} \approx 5.05\times10^{-29}\ \mathrm{kg}$, а энергия, выделяющаяся на одно ядро, равна $26.7\ \mathrm{MeV}$. Умножая на число реакций, необходимых для свечения Солнца мощностью $3.8\times10^{26}\ \mathrm{W}$, получаем потерю массы около $4.3\times10^9\ \mathrm{kg/s}$, то есть 4,3 миллиона тонн в секунду.

Здесь используется релятивистское соотношение энергии покоя $E=\Delta m c^2$: недостающая масса $\Delta m$ переходит в кинетическую энергию продуктов и в гамма-излучение. Энергия $26.7\ \mathrm{MeV}$ на ядро гелия — это в точности разность энергий покоя начальных и конечных ядер.

В типичном ионизационном датчике дыма содержится около $0.3\ \mathrm{\mu g}$ америция-241 с активностью $33\ \mathrm{kBq}$. Каждое ядро $^{241}\mathrm{Am}$ испытывает альфа-распад в $^{237}\mathrm{Np}$ с периодом полураспада 432 года. Массы не совпадают: $m(^{241}\mathrm{Am}) - m(^{237}\mathrm{Np}) - m(^{4}\mathrm{He}) = 5.5\ \mathrm{MeV}/c^2 \approx 9.8\times10^{-30}\ \mathrm{kg}$. Вылетающая альфа-частица уносит кинетическую энергию $5.5\ \mathrm{MeV}$ ($8.8\times10^{-13}\ \mathrm{J}$).

Дефект массы — это разность между массой покоя материнского ядра и суммарной массой покоя дочернего ядра и альфа-частицы. Деление этой разности на $c^2$ даёт выделившуюся энергию, $Q = \Delta m c^2$; кинетическая энергия альфа-частицы и энергия отдачи дочернего ядра делят эту энергию в соответствии с законами сохранения энергии и импульса.

В реакторе тепловой нейтрон расщепляет $^{235}\mathrm{U}$ на два осколка, например $^{141}\mathrm{Ba}$ и $^{92}\mathrm{Kr}$, и три нейтрона. Суммарная масса продуктов меньше массы исходного ядра и нейтрона на $\Delta m \approx 0.2\ \mathrm{u} \approx 3.3\times10^{-28}\ \mathrm{kg}$, что соответствует примерно $200\ \mathrm{MeV}$ на одно деление. Поэтому реактор мощностью $1\ \mathrm{GW}$ расходует около $1\ \mathrm{kg}$ $^{235}\mathrm{U}$ в сутки, так как $1\ \mathrm{kg}$ даёт $8.2\times10^{13}\ \mathrm{J}$.

Здесь определение дефекта массы применяется к ядерной реакции: $\Delta m$ — разность суммарных масс покоя до и после реакции, а выделившаяся энергия равна $Q = \Delta m c^2$. Эта энергия переходит в кинетическую энергию осколков деления и нейтронов, которая нагревает теплоноситель.