Законы Ньютона и суперпозиция сил: от векторов к равнодействующей

Сила — векторная величина, поэтому несколько сил, приложенных к телу, складываются по правилам сложения векторов: суперпозиция сил означает, что каждая сила действует независимо, а суммарный эффект определяется равнодействующей $\vec{F}_{\text{net}} = \sum_i \vec{F}_i$. Первый закон Ньютона утверждает: если равнодействующая равна нулю, тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения в инерциальной системе отсчёта. Второй закон связывает равнодействующую с ускорением: $\vec{F}_{\text{net}} = m\vec{a}$, причём ускорение направлено так же, как равнодействующая. Третий закон говорит, что силы взаимодействия двух тел равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к разным телам, поэтому в равнодействующую одного тела они никогда не входят вместе. Чтобы сложить силы, выбирают оси, проецируют каждую силу через $\cos$ и $\sin$ её угла, складывают проекции по каждой оси, а затем находят модуль $F_{\text{net}} = \sqrt{F_x^2+F_y^2}$ и направление $\tan\theta = F_y/F_x$. Вес $m\vec{g}$, сила упругости и сила трения находятся по своим законам ($F_{\text{el}} = kx$, $F_{\text{fr}} = \mu N$) и входят в сумму как обычные слагаемые.

На тело массой $m = 4.0$ кг действуют две горизонтальные силы: $F_1 = 12$ Н вправо и $F_2 = 5.0$ Н влево. Найдите равнодействующую и ускорение тела.

На тело массой $m = 2.0$ кг действуют две силы: $F_1 = 5.0$ Н вдоль оси $+x$ и $F_2 = 5.0$ Н под углом $60^\circ$ к оси $+x$. Найдите модуль и направление равнодействующей, а также ускорение тела.

Ящик массой $m = 10$ кг стоит на горизонтальном полу, коэффициент трения $\mu = 0.30$. К нему прикладывают силу $F = 50$ Н под углом $30^\circ$ к горизонту (вверх-вперёд). Сдвинется ли ящик? Если да, найдите ускорение. Примите $g = 9.8$ м/с² и одинаковый коэффициент трения покоя и скольжения.

План самостоятельной работы с симуляцией (PhET «Forces and Motion: Basics», вкладка Net Force); реальные нагрузки заменены безопасной моделью, поэтому измерять тяжёлые тела и толкать их вручную не нужно.

1. Задайте массу $m = 2.0$ кг и приложите две силы вдоль одной оси: сначала $F_1 = 8$ Н и $F_2 = 3$ Н в одну сторону, затем разверните $F_2$ в противоположную сторону. Запишите равнодействующую и ускорение, проверьте формулу $a = F_{\text{net}}/m$.
2. Приложите две взаимно перпендикулярные силы $F_1 = 6$ Н и $F_2 = 8$ Н и убедитесь, что $F_{\text{net}} = \sqrt{6^2+8^2} = 10$ Н, а стрелка ускорения совпадает по направлению со стрелкой равнодействующей.
3. Теперь добавьте третью силу, уравновешивающую первые две: она должна быть направлена противоположно их равнодействующей, то есть иметь модуль $F_3 = \sqrt{6^2+8^2} = 10$ Н и направление $233.1^\circ$ от оси $+x$ (около $127^\circ$ от первой силы). Убедитесь, что $F_{\text{net}} = 0$; опишите, как движется тело при нулевой равнодействующей, и свяжите это с первым законом Ньютона. Альтернатива: три равные силы по 10 Н, направленные под $120^\circ$ друг к другу, тоже дают нулевую равнодействующую.
4. Ведите таблицу: $F_x$, $F_y$, $F_{\text{net}}$, направление, $a$. Сравните предсказание по формулам с показаниями симуляции и отметьте расхождения.

Показать, что силы складываются как векторы: равнодействующая находится по правилу многоугольника, её проекции равны алгебраическим суммам проекций отдельных сил, а ускорение всегда направлено вдоль равнодействующей.

Схема из двух частей. Слева — тело в центре и стрелки сил $\vec{F}_1$, $\vec{F}_2$, $\vec{F}_3$, выходящие из одной точки, с подписанными углами к оси $x$. Справа — векторный многоугольник «хвост к голове» для этих же сил, пунктирная стрелка равнодействующей $\vec{F}_{\text{net}}$ и разложение на проекции $F_x$, $F_y$ на координатных осях.

Футбольный мяч массой $m=0.43\ \text{кг}$ лежит на земле. Игрок бьёт по нему горизонтально с силой $F_{\text{kick}}=120\ \text{Н}$. Во время удара сила тяжести тянет вниз с $F_g = mg = 0.43 \times 9.8 \approx 4.2\ \text{Н}$, земля толкает вверх с силой нормальной реакции $N = 4.2\ \text{Н}$, а трение препятствует скольжению с силой $f=2\ \text{Н}$. Вертикальные силы уравновешиваются: $N - F_g = 0$. Горизонтальная равнодействующая $F_{\text{net}} = 120 - 2 = 118\ \text{Н}$, значит ускорение $a = F_{\text{net}}/m = 118/0.43 \approx 274\ \text{м/с}^2$.

Здесь применяются второй закон Ньютона $F_{\text{net}} = ma$ и суперпозиция сил: сила тяжести, нормальная реакция, сила удара и трение складываются как векторы. Их вертикальные составляющие дают в сумме ноль, а горизонтальная равнодействующая определяет ускорение.

Автомобиль массой $m=1200\ \text{кг}$ движется со скоростью $v=20\ \text{м/с}$ (72 км/ч) и тормозит. На сухом асфальте сила кинетического трения $f_k = 6000\ \text{Н}$, сопротивление воздуха $F_{\text{air}} = 300\ \text{Н}$, сопротивление качению $200\ \text{Н}$. Все три силы направлены против движения, поэтому горизонтальная равнодействующая $F_{\text{net}} = -(6000+300+200) = -6500\ \text{Н}$, ускорение $a = -6500/1200 \approx -5.4\ \text{м/с}^2$. На мокром асфальте трение падает до $2500\ \text{Н}$; тогда $F_{\text{net}} = -(2500+300+200) = -3000\ \text{Н}$ и $a \approx -2.5\ \text{м/с}^2$, то есть замедление примерно вдвое меньше.

Суперпозиция векторов трения и сопротивления вдоль направления движения, затем второй закон Ньютона для нахождения замедления.

Капля дождя массой $m=0.05\ \text{г} = 5\times 10^{-5}\ \text{кг}$ падает. Её вес $F_g = mg = 5\times 10^{-5} \times 9.8 \approx 4.9\times 10^{-4}\ \text{Н}$ направлен вниз. С ростом скорости возрастает сила сопротивления воздуха $F_{\text{drag}}$, направленная вверх; когда капля достигает предельной скорости $v_t = 9\ \text{м/с}$, сопротивление сравнивается с весом: $F_{\text{drag}} = 4.9\times 10^{-4}\ \text{Н}$ вверх. Равнодействующая точно равна нулю, поэтому ускорение равно нулю, и скорость остаётся постоянной $9\ \text{м/с}$.

Это суперпозиция сил, дающая нулевую равнодействующую — условие первого закона Ньютона (равновесие): $F_g + F_{\text{drag}} = 0$. Показано, что движение определяется векторной суммой, а не отдельной силой.