Графики движения: чтение и построение

График движения — это зависимость кинематической величины от времени, и физический смысл несёт форма кривой, а не вид траектории. На графике координаты $x(t)$ наклон отрезка между двумя моментами даёт среднюю скорость $v_{\mathrm{avg}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$, а наклон касательной в отдельный момент — мгновенную скорость. Поэтому горизонтальная линия означает покой, наклонная прямая — движение с постоянной скоростью, а кривая — движение с изменением скорости, то есть с ускорением. На графике скорости $v(t)$ наклон даёт ускорение $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$, а площадь между графиком и осью времени — перемещение $\Delta x=\sum v\,\Delta t$. Площади выше оси времени считаются положительными, ниже — отрицательными, поэтому при развороте они частично сокращаются и перемещение оказывается меньше пройденного пути. Всегда сначала читайте подписи осей и единицы: путаница между $x(t)$ и $v(t)$ — самая частая ошибка при чтении графиков.

Пешеход идёт по прямой улице. График $x(t)$ — ломаная через точки $(0\ \text{s}, 0\ \text{m})$, $(4\ \text{s}, 12\ \text{m})$, $(10\ \text{s}, 12\ \text{m})$, $(14\ \text{s}, 0\ \text{m})$. Найдите среднюю скорость на каждом из трёх интервалов и опишите движение пешехода.

График скорости автомобиля $v(t)$ — ломаная: за первые $4\ \text{s}$ скорость равномерно растёт от $0$ до $8\ \text{m/s}$, следующие $4\ \text{s}$ остаётся равной $8\ \text{m/s}$, а последние $4\ \text{s}$ равномерно падает до $0$. Найдите ускорение на каждой ступени и полное перемещение автомобиля.

Тележка движется по прямому рельсу. Её график $v(t)$: $+6\ \text{m/s}$ от $t=0$ до $3\ \text{s}$, затем $-2\ \text{m/s}$ от $3\ \text{s}$ до $5\ \text{s}$, затем $+1\ \text{m/s}$ от $5\ \text{s}$ до $9\ \text{s}$. (а) Найдите перемещение и пройденный путь. (б) Найдите среднюю скорость и среднюю путевую скорость за все $9\ \text{s}$. (в) Объясните, почему эти средние значения различаются.

План самостоятельной работы на 30–40 минут — всё выполняется в симуляции.

1. Откройте симуляцию движения, например PhET The Moving Man, или любой другой инструмент, который строит графики $x(t)$ и $v(t)$. Движение оставьте одномерным.
2. Создайте три движения и зафиксируйте их: (а) тело стоит на месте; (б) движение с постоянной скоростью $+2\ \text{m/s}$; (в) равноускоренное движение из состояния покоя. Для каждого поставьте паузу и рассмотрите оба графика.
3. Для случая (б) выберите две точки на графике $x(t)$, вычислите наклон вручную по формуле $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ и сравните с показанием скорости. Для случая (в) возьмите два момента времени, вычислите $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ и сравните с показанием ускорения.
4. Затем скройте график $v(t)$ и по графику $x(t)$ нарисуйте, как должна выглядеть скорость; после этого откройте график и исправьте эскиз.

Безопасность. Все измерения проводите в симуляции. Не проводите хронометраж собственного движения на дорогах, лестницах и в местах с транспортом.

Показать, что одно и то же движение кодируется двумя способами: наклон графика $x(t)$ равен значению на графике $v(t)$, а площадь под $v(t)$ равна изменению $x$.

Эскиз из двух графиков, расположенных один над другим и имеющих общую горизонтальную ось времени. Сверху $x(t)$ — наклонная прямая с выделенным прямоугольным треугольником и подписью $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ вдоль гипотенузы. Снизу $v(t)$ — горизонтальная прямая, а область между ней и осью времени заштрихована и подписана $\Delta x = v\,\Delta t$. Вертикальная штриховая линия связывает оба графика в один и тот же момент времени.

На школьном забеге на 100 м время фиксируют у пяти отметок. Секундомер даёт: $x=0$ м при $t=0$ с, $x=12$ м при $t=2.0$ с, $x=26$ м при $t=4.0$ с, $x=42$ м при $t=6.0$ с, $x=60$ м при $t=8.0$ с, $x=78$ м при $t=10.0$ с и $x=100$ м при $t=12.5$ с. Если отложить $x$ по вертикали, а $t$ по горизонтали, график получается сначала пологим, потом всё более крутым: на первых двух секундах бегун проходит $12$ м, в середине дистанции — $18$ м за $2.0$ с, а на последних $2.5$ с — $22$ м.

Здесь работает главное правило чтения графика: наклон отрезка равен $\Delta x/\Delta t$. Для первых $2.0$ с это $12/2.0 = 6.0$ м/с, для среднего участка $18/2.0 = 9.0$ м/с, для последнего $22/2.5 = 8.8$ м/с. Наклон прямой, соединяющей точки $(0;0)$ и $(12.5;100)$, равен $100/12.5 = 8.0$ м/с — это средняя скорость за весь забег, а самый крутой участок графика отмечает момент наибольшей скорости.

Городской автобус трогается с остановки на прямом проспекте: скорость растёт от нуля до $20$ м/с за $8.0$ с, затем $60$ с держится на $20$ м/с, а перед светофором падает до нуля за $5.0$ с. Бортовой регистратор строит график зависимости скорости от времени.

Пройденный путь равен площади между графиком скорости и осью времени: $\tfrac{1}{2}\cdot 20\cdot 8.0 + 20\cdot 60 + \tfrac{1}{2}\cdot 20\cdot 5.0 = 80 + 1200 + 50 = 1330\ \text{м} \approx 1.3\ \text{км}.$ Наклоны взлетающего и падающего участков того же графика дают ускорения $20/8.0 = 2.5\ \text{м/с}^2$ и $-20/5.0 = -4.0\ \text{м/с}^2$.

Метеорадар следит за передним краем грозовой линии, идущей на восток к городу. Отметки: $30$ км западнее города в $15{:}00$, $18$ км западнее в $16{:}00$, $6$ км западнее в $17{:}00$ и сам город ($0$ км) в $19{:}00$. Если направить ось на восток, то $x=-30$ км в $15{:}00$, $x=-18$ км в $16{:}00$, $x=-6$ км в $17{:}00$ и $x=0$ км в $19{:}00$.

Первые три точки ложатся на одну прямую, и её наклон даёт скорость фронта: $24$ км за $2.0$ ч, то есть $12$ км/ч $\approx 3.3$ м/с на восток. Последний отрезок идёт от $x=-6$ км до $x=0$ км за $2.0$ ч, его наклон всего $3$ км/ч. Излом графика в $17{:}00$ — прямое указание на то, что движение перестало быть равномерным и фронт замедлился, хотя скорость никто напрямую не измерял.