Импульс, импульс силы и центр масс

Импульс материальной точки — векторная величина $\vec p = m\vec v$; её направление совпадает с направлением скорости, а полный импульс системы равен векторной сумме $\vec P = \sum_i m_i\vec v_i$ (для твёрдого тела массы $M$ получаем $\vec P = M\vec v_C$).

Второй закон Ньютона в импульсной форме имеет вид $\vec F = \dfrac{d\vec p}{dt}$ и переходит в $\vec F = m\vec a$, если масса постоянна.

Импульс силы равен $\vec J = \int_{t_1}^{t_2}\vec F\,dt$, то есть численно совпадает с площадью под графиком $F$–$t$; теорема об импульсе даёт $\vec J = \Delta\vec p = m\vec v_2 - m\vec v_1$.

Центр масс — это средневзвешенное по массам положение точек: $\vec r_C = \dfrac{1}{M}\sum_i m_i \vec r_i$ (для непрерывного тела $\vec r_C = \dfrac{1}{M}\int \vec r\,dm$).

Внутренние силы входят парами по третьему закону Ньютона и взаимно уничтожаются, поэтому центр масс подчиняется уравнению $M\vec a_C = \sum \vec F^{ext}$ — он движется как одна частица массы $M$ под действием суммарной внешней силы.

Следовательно, при нулевой суммарной внешней силе $\vec P$ и $\vec v_C$ постоянны — это удобно при разборе взрывов и соударений и при проверке условий равновесия твёрдого тела, где вес приложен в центре масс.

Тележка массой $2{,}0\ \mathrm{kg}$ движется прямолинейно со скоростью $3{,}0\ \mathrm{m/s}$.

(а) Найдите её импульс.

(б) Вдоль направления движения в течение $0{,}50\ \mathrm{s}$ действует постоянная сила $F = 20\ \mathrm{N}$. Найдите импульс этой силы и конечную скорость тележки.

Мяч массой $0{,}15\ \mathrm{kg}$ подлетает к стене со скоростью $20\ \mathrm{m/s}$ перпендикулярно стене и отскакивает строго назад со скоростью $15\ \mathrm{m/s}$. Контакт длится $0{,}020\ \mathrm{s}$. Положительное направление — от стены.

Найдите изменение импульса мяча, среднюю силу со стороны стены и объясните, как ответ связан с площадью под графиком $F$–$t$.

Даны три частицы: $m_1 = 1{,}0\ \mathrm{kg}$ в точке $\vec r_1 = (0,\,0)\ \mathrm{m}$ со скоростью $\vec v_1 = (2,\,0)\ \mathrm{m/s}$; $m_2 = 2{,}0\ \mathrm{kg}$ в точке $\vec r_2 = (3,\,0)\ \mathrm{m}$ со скоростью $\vec v_2 = (-1,\,0)\ \mathrm{m/s}$; $m_3 = 3{,}0\ \mathrm{kg}$ в точке $\vec r_3 = (3,\,4)\ \mathrm{m}$ со скоростью $\vec v_3 = (1,\,1)\ \mathrm{m/s}$.

(а) Найдите центр масс системы.

(б) Найдите полный импульс и скорость центра масс.

(в) Частицы — осколки фейерверка, который взрывается. Опишите дальнейшее движение центра масс, если сопротивлением воздуха пренебречь.

Самостоятельная работа с симуляцией PhET Collision Lab (или аналогичной моделью соударений). Выполните шаги по порядку.

1. Поставьте две шайбы: $m_1 = 1{,}0\ \mathrm{kg}$, $m_2 = 2{,}0\ \mathrm{kg}$, упругость $100\%$. Задайте начальные скорости, запустите модель и запишите скорости до и после соударения. Вычислите $\vec P = m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2$ до и после — вектор должен совпасть.
2. Повторите при упругости $0\%$. Импульс снова сохраняется, а кинетическая энергия — нет; сравните оба изменения количественно.
3. Включите отображение центра масс (маркер и векторы скоростей). Сравните маркер симуляции с вашим расчётом $\vec r_C = \dfrac{m_1\vec r_1 + m_2\vec r_2}{m_1 + m_2}$ по показаниям координат.
4. Безопасная проверка с бытовыми предметами: приклейте небольшую монету к одному концу линейки длиной $30\ \mathrm{cm}$ и уравновесьте линейку на пальце, чтобы найти центр масс. Сравните найденное положение с $x_C = \dfrac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}$, где $m_1$ — масса линейки, $m_2$ — масса монеты. Работайте на столе, острых инструментов и падающих грузов не требуется.

Показать, что внутренние силы взаимно уничтожаются, поэтому центр масс движется только под действием суммарной внешней силы, и что импульс силы есть площадь под графиком $F$–$t$.

Схема из трёх панелей.

• Слева: два бруска, соединённые пружиной, со стрелками равных по модулю и противоположных внутренних сил $\vec F_{12} = -\vec F_{21}$ и отмеченным центром масс $\vec r_C$.
• В центре: график $F$–$t$ с заштрихованной площадью, помеченной как $\vec J = \int \vec F\,dt$, и пунктирным прямоугольником той же площади, высота которого равна средней силе.
• Справа: взрывающийся снаряд в трёх последовательных моментах: осколки разлетаются в стороны, а пунктирная парабола центра масс продолжается без изменений.

Телефон массой $m = 0.20\ \text{kg}$ соскальзывает со стола и падает с высоты $h = 1.0\ \text{m}$. Перед ударом его скорость равна $v = \sqrt{2gh} \approx 4.4\ \text{m/s}$, а импульс $p = mv \approx 0.89\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. При ударе о голую плитку телефон останавливается примерно за $0.002\ \text{s}$, а при падении на ковёр толщиной $2\ \text{cm}$ — примерно за $0.04\ \text{s}$.

Здесь работает теорема об импульсе силы $\vec{F}\Delta t = \Delta\vec{p}$: потеря импульса в обоих случаях одна и та же, $0.89\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. О плитку $\Delta t = 0.002\ \text{s}$, поэтому средняя сила $F \approx 0.89/0.002 \approx 450\ \text{N}$; о ковёр $\Delta t = 0.04\ \text{s}$ и $F \approx 22\ \text{N}$ — в двадцать раз меньше, и стекло выживает.

Водитель массой $m = 70\ \text{kg}$ едет со скоростью $v = 15\ \text{m/s}$ (это $54\ \text{km/h}$); его импульс равен $p = mv = 1050\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. С ремнём и подушкой он гасит эту скорость за $\Delta t = 0.15\ \text{s}$, а без них — за $\Delta t = 0.02\ \text{s}$, ударившись о рулевую колонку.

Изменение импульса $\Delta p = 1050\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ задано массой и скоростью и не зависит от того, во что водитель ударяется. Средняя сила равна $F = \Delta p/\Delta t$: с подушкой $F \approx 7000\ \text{N}$, без неё $F \approx 52500\ \text{N}$. Сминаемая зона и подушка удлиняют время торможения $\Delta t$, а значит уменьшают силу — это прямое следствие связи импульса силы и изменения импульса тела.

Планка стоит на высоте $2.00\ \text{m}$. В высшей точке прыжка центр масс прыгуна находится примерно на $1.85\ \text{m}$ — ниже планки, потому что выгнутое дугой тело обходит планку, а сам центр масс проходит под ней. Чтобы поднять центр масс с $1.0\ \text{m}$ до $1.85\ \text{m}$, то есть на $0.85\ \text{m}$, нужна скорость отталкивания $v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.85} \approx 4.1\ \text{m/s}$.

Центр масс системы тел — это точка, движение которой задают только внешние силы: $M\vec{a}_{CM} = \sum\vec{F}_{ext}$. Пока прыгун в воздухе, мышцы действуют лишь как внутренние силы и не могут изменить траекторию центра масс — он движется по параболе, как брошенная точка. Кроме того, пример показывает, что центр масс может лежать вне самого тела, и именно его высота, а не высота любой части тела, определяет, что удастся перепрыгнуть.