Сохранение импульса при столкновениях: от пули до автомобиля

Импульс тела равен $\vec p = m\vec v$, а второй закон Ньютона в импульсной форме $\vec F\,\Delta t = \Delta \vec p$ связывает силу с изменением импульса.

При столкновении внутренние силы удара велики, но внешние силы (тяжесть, трение) за короткое время $\Delta t$ сообщают системе малый импульс, поэтому вдоль направления удара систему можно считать замкнутой и применять $m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 = m_1\vec v_1' + m_2\vec v_2'$.

Это векторное равенство удобно записывать в проекциях на выбранную ось, тщательно следя за знаками скоростей.

При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия сохраняется, при абсолютно неупругом тела движутся вместе, и потеря кинетической энергии равна $\Delta K = -\dfrac{1}{2}\,\dfrac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\,(v_1-v_2)^2$.

Именно поэтому при столкновении легкового автомобиля со встречным грузовиком суммарный импульс системы сохраняется, но лёгкая машина меняет свою скорость гораздо сильнее тяжёлой.

Из винтовки массой $M = 4{,}0$ кг вылетает пуля массой $m = 0{,}010$ кг со скоростью $v = 500$ м/с. Найдите скорость отдачи винтовки $V$.

Тележка массой $m_1 = 2{,}0$ кг движется со скоростью $v_1 = 3{,}0$ м/с и догоняет тележку массой $m_2 = 4{,}0$ кг, движущуюся в ту же сторону со скоростью $v_2 = 1{,}0$ м/с. После удара тележки сцепляются и движутся вместе. Найдите их общую скорость и потерянную кинетическую энергию.

Баллистический маятник: пуля массой $m = 0{,}010$ кг застревает в подвешенном на длинной нити бруске массой $M = 2{,}0$ кг и брусок с пулей поднимается на высоту $h = 0{,}20$ м. Найдите скорость пули до удара и долю потерянной механической энергии.

План самостоятельной работы (безопасно, на столе).

1. Откройте интерактивную симуляцию столкновений (например, Collision Lab) и выберите одномерный режим. Задайте $m_1 = 1$ кг, $v_1 = 2$ м/с, $m_2 = 1$ кг, $v_2 = 0$; поставьте ползунок упругости сначала на $1{,}0$ (упругий удар), затем на $0$ (абсолютно неупругий).
2. Для каждого случая выпишите в таблицу скорости до и после и посчитайте $p_1+p_2$ и $K_1+K_2$. Проверьте, что импульс одинаков до и после, а кинетическая энергия уменьшается только во втором случае.
3. Повторите для $m_2 = 3$ кг и убедитесь, что лёгкое тело меняет скорость сильнее.
4. Настольный опыт (необязательно). На гладкой поверхности стола с лёгким наклоном запустите одну монету в другую, не задевая край стола и не используя ничего нагретого или острого. Снимите удар на телефон в режиме замедленной съёмки, отметьте по кадрам положения монет и оцените отношение скоростей. Сравните векторную сумму импульсов до и после; из-за трения она сохраняется лишь приближённо — объясните это как действие внешней силы.

Все высокоскоростные и «пулевые» случаи разбирайте только в симуляции; никаких реальных выстрелов, падений с высоты и ударов тяжёлыми предметами.

Показать, что векторная сумма импульсов до и после удара одинакова, а кинетическая энергия уменьшается только при неупругом ударе.

Схема из двух панелей: слева «до удара» — два тела с массами $m_1$, $m_2$, стрелками скоростей $\vec v_1$, $\vec v_2$ и векторами импульсов $m_1\vec v_1$, $m_2\vec v_2$; справа «после удара» — те же тела со скоростями $\vec v_1'$, $\vec v_2'$ (или одно слипшееся тело для абсолютно неупругого случая). Под панелями — таблица проекций $p_x$ с одинаковой итоговой суммой и две полосовые диаграммы энергии для упругого и абсолютно неупругого удара.

Два хоккеиста встречаются на льду. Игрок A массой $85\ \text{kg}$ скользит со скоростью $6.0\ \text{m/s}$, игрок B массой $75\ \text{kg}$ стоит на месте. Они сталкиваются и хватают друг друга, поэтому после столкновения движутся как одно тело. Суммарный импульс до удара равен $p = 85 \cdot 6.0 = 510\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ (вклад игрока B равен $0$), значит после столкновения пара массой $160\ \text{kg}$ должна нести те же $510\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$: $v = 510/160 = 3.2\ \text{m/s}$.

Столкновение считается абсолютно неупругим: импульс сохраняется, потому что толчки, которые хоккеисты сообщают друг другу, равны по модулю, противоположны по направлению и действуют одинаково короткое время, так что их импульсы силы взаимно уничтожаются. Кинетическая энергия здесь не сохраняется: $\frac{1}{2}\cdot 85\cdot 6.0^2 = 1530\ \text{J}$ до удара против $\frac{1}{2}\cdot 160\cdot 3.2^2 \approx 819\ \text{J}$ после — недостающие $711\ \text{J}$ уходят на деформацию экипировки, нагрев и звук.

На городской улице автомобиль массой $1200\ \text{kg}$, едущий со скоростью $15\ \text{m/s}$ ($54\ \text{km/h}$), врезается в автомобиль массой $1400\ \text{kg}$, стоящий на красный свет. Бамперы сцепляются. До удара импульс равен $p = 1200\cdot 15 = 1.8\times 10^4\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$; стоящий автомобиль не даёт вклада. После аварии обе машины общей массой $2600\ \text{kg}$ скользят как одно тело со скоростью $v = 1.8\times10^4/2600 \approx 6.9\ \text{m/s}$ ($25\ \text{km/h}$).

Импульс сохраняется вдоль направления движения, хотя удар сильно неупругий; смятый металл, тепло и звук объясняют падение кинетической энергии с $\frac{1}{2}\cdot1200\cdot15^2 = 1.35\times10^5\ \text{J}$ до $\frac{1}{2}\cdot2600\cdot 6.9^2 \approx 6.2\times10^4\ \text{J}$. Именно такой расчёт используют, восстанавливая скорости машин по следам торможения и повреждениям.

Баскетбольный мяч массой $0.62\ \text{kg}$ падает на площадку со скоростью $5.0\ \text{m/s}$ и отскакивает вверх со скоростью $4.0\ \text{m/s}$. Считая направление вниз отрицательным, импульс мяча меняется с $-3.1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ на $+2.5\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$, то есть на $+5.6\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$.

Мяч и Земля образуют замкнутую систему: толчок площадки меняет импульс мяча на $+5.6\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$, значит Земля получает равный импульс вниз и отскакивает со скоростью $\Delta v = 5.6/6.0\times10^{24} \approx 9\times10^{-25}\ \text{m/s}$ — измерить это невозможно, но баланс импульса выполняется точно. Отскок и не абсолютно упругий: кинетическая энергия падает с $\frac{1}{2}\cdot0.62\cdot5.0^2 = 7.8\ \text{J}$ до $\frac{1}{2}\cdot0.62\cdot4.0^2 = 5.0\ \text{J}$.