Положения МКТ и доказательства броуновским движением

Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) опирается на три положения: вещество состоит из частиц, между частицами есть промежутки, частицы непрерывно и хаотично движутся, взаимодействуя силами притяжения и отталкивания, заметными лишь на малых расстояниях.

Первое и второе положения подтверждает диффузия: если смешать $1\ \text{cm}^3$ воды и $1\ \text{cm}^3$ спирта, объём смеси окажется меньше $2\ \text{cm}^3$, а капля чернил без перемешивания постепенно окрашивает всю воду.

О непрерывном хаотичном движении говорит броуновское движение — беспорядочное дрожание мелких частиц, взвешенных в жидкости или газе (Р. Браун, 1827 г.).

Броуновскую частицу радиуса $r \approx 10^{-6}\ \text{m}$ бомбардируют молекулы со всех сторон; число ударов слева и справа случайно, поэтому их равнодействующая не равна нулю и меняет направление каждое мгновение.

Интенсивность движения растёт с температурой и падает с увеличением размера частицы, что согласуется со связью средней кинетической энергии молекул с абсолютной температурой: $\langle E_k \rangle \propto T$.

Знание массы, плотности и объёма позволяет связать наблюдение с расчётом числа молекул: $N = \dfrac{m}{M}N_A$, где $M$ — молярная масса.

Капля чернил падает в стакан с неподвижной водой, и через несколько часов вода становится равномерно окрашенной. Какое положение МКТ подтверждает это наблюдение? Ответ обоснуйте.

Капля масла объёмом $V = 1{,}0\cdot 10^{-11}\ \text{m}^3$ растекается по поверхности воды в круглое пятно диаметром $D = 0{,}20\ \text{m}$. Считая, что плёнка имеет толщину в одну молекулу, оцените диаметр молекулы масла.

Две одинаковые броуновские частицы находятся в воде: одна при $T_1 = 293\ \text{K}$, другая при $T_2 = 333\ \text{K}$. Считая средний квадрат смещения за единицу времени пропорциональным абсолютной температуре, найдите отношение $\dfrac{\langle x^2\rangle_2}{\langle x^2\rangle_1}$. Опираясь на модель ударов молекул, объясните также, почему наблюдаемое броуновское движение нельзя объяснить конвекцией и почему оно не видно у частицы размером около $1\ \text{mm}$.

Симуляция (основной способ наблюдения). Откройте браузерную симуляцию броуновского движения или диффузии.

1. Задайте температуру $T_1$, включите показ траектории и каждые $2\ \text{s}$ отмечайте координату частицы; по $10$–$15$ точкам вычислите средний квадрат смещения $\langle x^2\rangle$.
2. Повторите опыт при $T_2 > T_1$ и сравните $\langle x^2\rangle$; проверьте, подтверждается ли зависимость $\langle x^2\rangle \propto T$.
3. Уменьшите размер частицы вдвое при той же температуре и отметьте, как изменилась амплитуда дрожания.

Безопасный домашний опыт с диффузией. Налейте в два стакана на поднос холодную и тёплую (не кипящую) воду и осторожно капните в каждый по капле пищевого красителя; сравните время равномерного окрашивания. Не нагревайте воду до кипения, не пробуйте растворы на вкус, вытирайте пролитое сразу.

Показать, что траектория броуновской частицы случайна, что она возникает из-за нескомпенсированных ударов молекул и что её размах растёт с температурой.

Схема из двух панелей: слева — броуновская частица в жидкости с зигзагообразной траекторией и стрелками ударов молекул с разных сторон, справа — та же частица при более высокой температуре с более крупным зигзагом; рядом записаны формулы $\langle x^2\rangle \propto T$ и $r \approx 10^{-6}\ \text{m}$, а под панелями — шкала смещения.

Перед матчем мяч накачивают так, что абсолютное давление воздуха внутри равно $1.6\times10^5$ Па, объём мяча $V=5.0$ л $=5.0\times10^{-3}$ м$^3$, температура $T=293$ К. При этом число молекул воздуха внутри примерно $N=\frac{pV}{k_BT}\approx2.0\times10^{23}$, а средняя скорость молекул при $293$ К порядка $500$ м/с. Мяч кажется упругим, потому что его оболочка постоянно принимает множество ударов молекул.

Сценарий использует положения МКТ: молекулы газа малы по сравнению с расстояниями между ними, движутся хаотически и упруго ударяются о стенку; давление возникает как средняя сила ударов, делённая на площадь. Броуновское доказательство здесь не наблюдается прямо, но та же хаотичность объясняет, почему давление не падает само по себе.

В стакан с $200$ мл воды при $20$ °C падает капля пищевого красителя объёмом около $0.05$ мл. Без перемешивания окрашенная область за $10$ мин распространяется на несколько сантиметров; отдельные микрокапли красителя видны в микроскоп как беспорядочно дрожащие точки. Скорость молекул воды при $20$ °C порядка $600$ м/с.

Это прямое броуновское доказательство: молекулы воды непрерывно и случайно ударяют частицу красителя со всех сторон; в каждый момент число ударов слева и справа не одинаково, поэтому частица совершает случайное блуждание, а в среднем вещество переносится из области высокой концентрации в область низкой. Сценарий проверяет положение МКТ о непрерывном хаотическом движении молекул.

В безветренный тёплый день при $30$ °C пыльцевое зерно диаметром $10$ мкм в луче света смещается на $1$–$2$ мкм за $1$ с, хотя воздух кажется неподвижным. Молекулы воздуха при $30$ °C имеют среднюю скорость около $510$ м/с, а число их ударов о такое зерно около $10^{18}$ в секунду.

Это газовый вариант броуновского доказательства: удары молекул воздуха о пыльцу в каждый момент не скомпенсированы, поэтому зерно дрожит и смещается случайно. Сценарий опирается на положение МКТ, что молекулы находятся в непрерывном тепловом движении, а их удары статистически распределены.