Зеркала и линзы: построение изображений

Изображение точки — это точка пересечения лучей после отражения или преломления: если пересекаются сами лучи, изображение действительное, а если только их продолжения — мнимое.

Для построения достаточно двух главных лучей. Луч, параллельный главной оптической оси, после отражения или преломления идёт через фокус $F$; луч, проходящий через $F$, выходит параллельно оси. Луч, идущий через оптический центр тонкой линзы, не меняет направления. Для зеркала третий главный луч направляют в вершину (полюс) зеркала: там он отражается симметрично относительно главной оптической оси по закону отражения, поэтому его направление меняется; неизменным остаётся только луч, идущий вдоль самой главной оптической оси.

Положение изображения даёт формула зеркала или тонкой линзы

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i},$$

где для сферического зеркала $f=R/2$, $R$ — радиус кривизны.

Знак $d_i$ кодирует природу изображения: $d_i>0$ — действительное (перед зеркалом, за линзой), $d_i<0$ — мнимое (за зеркалом, перед линзой). Линейное увеличение

$$m=-\frac{d_i}{d_o},$$

поэтому $|m|>1$ означает увеличение, а $m<0$ — перевёрнутое изображение.

При решении задач сначала выберите соглашение о знаках и придерживайтесь его до конца: рассеивающие элементы имеют $f<0$, а расстояние до предмета всегда $d_o>0$. Сравнение знака $d_i$ и знака $m$ с построением — быстрая проверка ответа.

Вогнутое сферическое зеркало имеет радиус кривизны $R=40$ см. Предмет высотой $h_o=2$ см поставлен на главной оптической оси на расстоянии $d_o=60$ см от вершины зеркала. Найдите фокусное расстояние, положение изображения и его увеличение.

Собирающая линза имеет фокусное расстояние $f=10$ см. Предмет высотой $h_o=2$ см расположен на расстоянии $d_o=15$ см от линзы. Найдите расстояние до изображения, увеличение и высоту изображения; укажите, куда нужно поставить экран, чтобы получить резкое изображение.

Выпуклое (рассеивающее) зеркало с модулем фокусного расстояния $|f|=15$ см используется как зеркало заднего вида. Предмет (автомобиль) находится на расстоянии $d_o=10$ см от зеркала. Найдите $d_i$ и $m$, определите природу и ориентацию изображения и объясните, почему такое зеркало удобно водителю.

План самостоятельной работы с симуляцией (без опасных источников света).

1. Откройте симуляцию «Геометрическая оптика» (PhET) или аналогичную программу построения лучей.
2. Выберите вогнутое зеркало, поставьте предмет на $d_o>2f$ и зафиксируйте экран в точке пересечения лучей; запишите $d_i$ из симуляции и сравните с формулой $1/f=1/d_o+1/d_i$.
3. Повторите опыт для $f<d_o<2f$ и для $d_o<f$; в третьем случае лучей не пересекается — отметьте, что изображение мнимое, и найдите его по продолжениям лучей.
4. Переключитесь на собирающую и рассеивающую линзу и выполните такие же три измерения; заполните таблицу: тип элемента, $d_o$, $f$, $d_i$, знак $d_i$, знак $m$.
5. Сравните знаки в таблице со своими построениями и сформулируйте вывод: как знак $f$, знак $d_i$ и знак $m$ предсказывают природу и ориентацию изображения.

Безопасность: не направляйте лазерную указку или солнечный свет через линзу — концентрированный луч опасен для глаз и может вызвать возгорание. Все наблюдения проводите только в симуляции.

Показать, что положение изображения задаётся пересечением главных лучей, и связать геометрию построения со знаками в формуле зеркала или линзы.

Схема (эскиз) вогнутого зеркала на главной оптической оси: дуга зеркала слева, точки $C$ и $F$, отмеченные на оси; предмет — вертикальная стрелка в точке $d_o>2f$; три главных луча: параллельный оси (после отражения через $F$), проходящий через $F$ (после отражения параллельно оси) и луч в вершину зеркала (отражается симметрично); пересечение лучей даёт перевёрнутую стрелку-изображение между $F$ и $C$. Рядом — уменьшенный вариант той же схемы для линзы: собирающая и рассеивающая линзы в виде символа с двумя стрелками, фокусы $F$ по обе стороны, тот же ход главных лучей и пунктирные продолжения лучей для мнимого изображения.

За рулём ночью вы смотрите в выпуклое зеркало заднего вида с радиусом кривизны $R=1200\ \text{мм}$, поэтому $f=-R/2=-600\ \text{мм}$ (фокус мнимый, за зеркалом). Машина сзади находится на $d_o=20\ \text{м}$ от зеркала.

Формула зеркала $\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$ при $f=-0.60\ \text{м}$ и $d_o=20\ \text{м}$ даёт $\frac{1}{d_i}=\frac{1}{-0.60}-\frac{1}{20}=-1.72\ \text{м}^{-1}$, то есть $d_i\approx -0.58\ \text{м}$: изображение мнимое, за зеркалом. Увеличение $m=-\frac{d_i}{d_o}=\frac{0.58}{20}\approx 0.029$: машина высотой $1.5\ \text{м}$ выглядит примерно $4.4\ \text{см}$ и прямо — здесь работают правило знаков и ход луча, параллельного оси, который после отражения идёт так, как будто выходит из мнимого фокуса.

Камера смартфона использует собирающую линзу с $f=4.0\ \text{мм}$. Вы фотографируете лицо друга на расстоянии $d_o=0.50\ \text{м}=500\ \text{мм}$ от линзы; матрица должна стоять там, где получается изображение.

Формула тонкой линзы даёт $\frac{1}{d_i}=\frac{1}{4.0\ \text{мм}}-\frac{1}{500\ \text{мм}}=0.248\ \text{мм}^{-1}$, значит $d_i\approx 4.03\ \text{мм}$ — матрица стоит практически в фокальной плоскости. Увеличение $m=-\frac{d_i}{d_o}\approx -0.0081$: изображение действительное, перевёрнутое и примерно $0.8\%$ от размера предмета; поле зрения на таком расстоянии около $62\ \text{см}$ в ширину. Это и есть построение изображения: луч, параллельный оси, идёт через фокус, а луч через центр линзы не отклоняется.

Вогнутое зеркало для макияжа в ванной имеет радиус кривизны $R=500\ \text{мм}$, то есть $f=+250\ \text{мм}$. Вы держите лицо на $d_o=150\ \text{мм}$ от зеркала — ближе фокусного расстояния.

По формуле $\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$: $\frac{1}{d_i}=\frac{1}{250}-\frac{1}{150}=\frac{6-10}{1500}=-0.00267\ \text{мм}^{-1}$, откуда $d_i=-375\ \text{мм}$ за зеркалом и $m=-\frac{d_i}{d_o}=+2.5$. Изображение мнимое, прямое и в $2.5$ раза больше — ресница длиной $8\ \text{мм}$ выглядит как $20\ \text{мм}$. При построении используют два луча: параллельный оси отражается через $F$, а падающий в вершину отражается под тем же углом; их продолжения назад пересекаются за зеркалом.