Сила Лоренца и движение заряженной частицы

Сила Лоренца описывает действие электрического и магнитного полей на точечный заряд: $\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B).$ Магнитная часть равна $\vec F_B = q\,\vec v \times \vec B$, а её модуль $F_B = |q|vB\sin\theta$, где $\theta$ — угол между $\vec v$ и $\vec B$. Направление силы для положительного заряда совпадает с $\vec v \times \vec B$ (правило правой руки), а для отрицательного — противоположно. Если магнитное поле однородно, перпендикулярная к $\vec B$ составляющая скорости заставляет частицу двигаться по окружности радиуса $r = \frac{mv_\perp}{|q|B}$, а параллельная составляющая сохраняется, поэтому в общем случае траектория — винтовая линия. Период обращения $T = \frac{2\pi m}{|q|B}$ не зависит от скорости в нерелятивистском приближении. Магнитная сила работы не совершает, поэтому модуль скорости и кинетическая энергия остаются постоянными; при суперпозиции полей в формулу подставляется суммарная индукция $\vec B = \vec B_1 + \vec B_2 + \ldots$.

Протон ($q=+1.6\times10^{-19}$ Кл) движется на восток со скоростью $v=2.0\times10^5$ м/с в однородном магнитном поле $B=0.50$ Тл, направленном на север. Найдите модуль и направление магнитной силы.

Электрон ($|q|=1.6\times10^{-19}$ Кл, $m=9.11\times10^{-31}$ кг) влетает перпендикулярно однородному магнитному полю $B=2.5$ мТ со скоростью $v=4.0\times10^6$ м/с. Найдите радиус траектории и период обращения.

Положительный ион с зарядом $q$ и массой $m$ движется вправо через скрещенные поля: $\vec E$ направлено вниз, $\vec B$ — в плоскость рисунка. Найдите условие на $E$, $B$ и $v$, при котором ион движется прямолинейно, и вычислите $v$, если $E=3.0\times10^4$ В/м и $B=0.20$ Тл. Куда направлены электрическая и магнитная силы?

Используйте безопасную онлайн-симуляцию движения заряда в магнитном поле (например, PhET «Заряд в магнитном поле» или аналогичную). Установите однородное $\vec B$, направьте начальную скорость перпендикулярно полю и наблюдайте круговую траекторию. Меняйте знак заряда, величину $B$ и скорость $v$; фиксируйте радиус и период. Сравните измерения с формулами $r=mv/(|q|B)$ и $T=2\pi m/(|q|B)$. Затем задайте скорость под углом к $\vec B$ и опишите винтовую линию. Не используйте реальные источники высокого напряжения или сильные магниты; проводите наблюдения только в симуляции.

Показать, как взаимное расположение $\vec v$ и $\vec B$ определяет направление силы Лоренца и форму траектории заряженной частицы.

Схема: вектор $\vec v$ направлен вправо, $\vec B$ — в плоскость рисунка; для положительного заряда $\vec F$ направлена вверх по правилу правой руки, а траектория — окружность; для отрицательного заряда направление силы и закручивания противоположно. Рядом показан случай, когда $\vec v$ образует угол с $\vec B$: траектория — винтовая линия.

Микроволновая печь разогревает еду излучением с частотой $2.45\ \text{ГГц}$. Это излучение рождает магнетрон, в котором электроны ($m = 9.11\times10^{-31}\ \text{кг}$, $q = 1.6\times10^{-19}\ \text{Кл}$) летят перпендикулярно магнитному полю с индукцией $B = 0.088\ \text{Тл}$. Магнитная часть силы Лоренца закручивает их по окружности с периодом $T = \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi \cdot 9.11\times10^{-31}}{1.6\times10^{-19}\cdot 0.088} = 4.1\times10^{-10}\ \text{с},$ то есть с частотой $1/T = 2.45\ \text{ГГц}$.

Здесь работает чисто магнитная сила Лоренца $\vec F = q\,\vec v\times\vec B$. Она всё время перпендикулярна скорости, поэтому меняет только направление скорости, а не её модуль: электрон идёт по окружности, а энергия его не растёт и не падает. Именно поэтому период $T = 2\pi m/(qB)$ не зависит от скорости электрона — на этом совпадении частоты обращения и частоты резонатора и держится работа магнетрона.

Над полярными областями электроны падают к атмосфере, имея поперёк силовых линий скорость $v_\perp = 1.0\times10^{7}\ \text{м/с}$. Вблизи Земли индукция поля $B = 5\times10^{-5}\ \text{Тл}$, и поперечная составляющая скорости превращается в окружность радиусом $r = \frac{m v_\perp}{qB} = \frac{9.11\times10^{-31}\cdot 1.0\times10^{7}}{1.6\times10^{-19}\cdot 5\times10^{-5}} \approx 1.1\ \text{м}.$ Составляющая скорости вдоль $\vec B$ при этом не меняется, поэтому траектория — спираль, которая тянется вдоль силовой линии до самых слоёв воздуха на высоте $90\!-\!150\ \text{км}$.

Это сила Лоренца без электрического поля: $\vec F = q\,\vec v\times\vec B$. Так как сила перпендикулярна и $\vec v$, и $\vec B$, она не совершает работы, и модуль скорости $1.0\times10^{7}\ \text{м/с}$ сохраняется — поворачивается только направление движения. Отсюда и берётся спираль: круговое движение в плоскости, поперечной $\vec B$, плюс равномерный полёт вдоль $\vec B$, так что сияние вычерчивает те же линии, что и магнитное поле Земли.

Пробу мочи или крови спортсмена ионизируют и разгоняют напряжением $U = 1000\ \text{В}$. Однозарядный фрагмент с $q = 1.6\times10^{-19}\ \text{Кл}$ и $m = 3.0\times10^{-26}\ \text{кг}$ (около $18\ \text{а.е.м.}$) выходит из ускорителя со скоростью $v = \sqrt{2qU/m} \approx 1.0\times10^{5}\ \text{м/с}$ и влетает под прямым углом в поле $B = 0.5\ \text{Тл}$. Его путь — окружность радиусом $r = \frac{mv}{qB} = \frac{3.0\times10^{-26}\cdot 1.0\times10^{5}}{1.6\times10^{-19}\cdot 0.5} \approx 3.8\ \text{см}.$ Ион потяжелее отклоняется слабее, поэтому детектор регистрирует каждую массу отдельно.

Работа электрического поля $qU$ задаёт скорость иона, а дальше магнитная часть силы Лоренца $\vec F = q\,\vec v\times\vec B$ только поворачивает эту скорость, не меняя её модуля. Радиус оказывается пропорционален $m/q$, поэтому одна и та же установка разводит по разным точкам детектора молекулы разной массы — так запрещённое вещество и находится среди тысяч других молекул пробы.