Правило Ленца и вихревое электрическое поле

Закон Фарадея даёт величину ЭДС индукции, $|\mathcal{E}| = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right|$, но не её направление. Правило Ленца задаёт направление: индукционный ток всегда противодействует изменению магнитного потока, которым он вызван. Иначе говоря, индукционный ток создаёт собственное магнитное поле, поток которого через контур компенсирует изменение $\Delta\Phi$.

Изменяющийся магнитный поток сопровождается вихревым (индуцированным) электрическим полем $\vec{E}$, силовые линии которого замкнуты и охватывают область изменяющегося $\vec{B}$. Количественно это записывается так:

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt}.$$

Поскольку линейный интеграл от $\vec{E}$ по замкнутому контуру, вообще говоря, не равен нулю, индуцированное поле неконсервативно: его нельзя представить как градиент скалярного потенциала, а его силовые линии — замкнутые кривые, а не линии от положительного заряда к отрицательному. Знак минус в формуле — это и есть правило Ленца; само поле существует и в пустоте, где нет зарядов и токов, которые можно было бы толкать.

Круговой проводящий контур лежит горизонтально. К нему сверху приближают постоянный магнит северным полюсом вниз. Определите направление индукционного тока в контуре, если смотреть на него со стороны магнита. Ответ обоснуйте правилом Ленца.

Круговой контур радиусом $r = 0.20\,\text{m}$ и сопротивлением $R = 2.0\,\Omega$ находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном из-за страницы. Индукция поля за $\Delta t = 0.40\,\text{s}$ уменьшается от $0.60\,\text{T}$ до $0.20\,\text{T}$. Найдите модуль ЭДС индукции и силу тока, укажите направление тока.

Однородное магнитное поле $\vec{B}$ направлено из-за страницы и существует только внутри круга радиусом $R = 0.30\,\text{m}$. Индукция растёт со скоростью $\frac{dB}{dt} = 2.0\,\text{T/s}$. Найдите модуль и направление вихревого электрического поля в точках на расстоянии $r_1 = 0.10\,\text{m}$ и $r_2 = 0.50\,\text{m}$ от центра.

Работайте с симуляцией Faraday's Electromagnetic Lab (PhET) в режиме «Магнит и катушка». Вихревое поле в домашних условиях измерить нельзя (нужны точные приборы и оно не связано с зарядами), поэтому наблюдения ведём на модели.

1. Расположите магнит северным полюсом к катушке и медленно приближайте его. Сначала предскажите направление тока по правилу Ленца, затем проверьте знак показаний гальванометра.
2. Удаляйте магнит; снова предскажите и сравните с наблюдением.
3. Переверните магнит (южный полюс к катушке) и повторите пункты 1–2.
4. Увеличьте скорость магнита и отметьте, как меняется модуль тока; проверьте, что $|\mathcal{E}| \propto \left|\frac{d\Phi}{dt}\right|$.

Ведите таблицу: движение (приближение/удаление), полюс, изменение потока (рост/убывание), предсказанное направление тока, наблюдаемое направление. В конце сформулируйте одним предложением, куда направлены силовые линии $\vec{E}$, если поле $\vec{B}$ из-за страницы возрастает.

Показать две связанные идеи: (1) индукционный ток направлен так, что его магнитное поле противодействует изменению потока (правило Ленца), и (2) силовые линии вихревого электрического поля замкнуты и охватывают область изменяющегося магнитного поля.

Схема из двух частей. Слева: магнит приближается северным полюсом к круговому контуру; показаны стрелки поля магнита $\vec{B}$ (вниз, в контур), индукционного поля $\vec{B}_{\text{ind}}$ (вверх, навстречу), а также круговые стрелки индукционного тока (против часовой стрелки при взгляде сверху). Справа: вид сверху на круг радиуса $R$ с полем $\vec{B}$ из-за страницы (обозначение $\odot$); вокруг оси нарисованы замкнутые концентрические окружности — силовые линии $\vec{E}$ с касательными стрелками по часовой стрелке.

Индукционная конфорка мощностью $2{,}0~\text{кВт}$ нагревает $1{,}0~\text{л}$ воды в кастрюле со стальным дном от $20~^\circ\text{C}$ до $100~^\circ\text{C}$ примерно за $3{,}5~\text{мин}$. Под стеклокерамикой катушка несёт переменный ток частотой $25~\text{кГц}$. Та же кастрюля из алюминия на той же конфорке почти не греется: вода в ней остаётся холодной.

Переменный ток катушки меняет магнитный поток через дно кастрюли, $\frac{d\Phi}{dt}\ne 0$, и вихревое электрическое поле гонит в металле замкнутые кольца индукционного тока. Правило Ленца задаёт их направление: собственное магнитное поле этих токов противодействует изменению потока, поэтому токи замыкаются в тонком слое у поверхности, обращённой к катушке, и выделяют там тепло по закону Джоуля — Ленца $P=I^2R$. Частота $25~\text{кГц}$ (а не $50~\text{Гц}$) поднимает ЭДС индукции; стальное дно с сопротивлением порядка $0{,}1~\Omega$ превращает энергию в нагрев, а у алюминия сопротивление мало и ферромагнетизма нет, поэтому эффект слишком слаб, чтобы вскипятить воду.

Электропоезд массой $3{,}0\times10^{5}~\text{кг}$ тормозит от $20~\text{м/с}$ ($72~\text{км/ч}$) до полной остановки за $20~\text{с}$. Вместо того чтобы только раскалять тормозные колодки, тяговые двигатели переводят в режим генератора и отдают в контактную сеть около $60~\text{МДж}$ — это как раз кинетическая энергия $\frac12 mv^2$ такого поезда.

Пока колёса вращаются, магнитный поток через обмотки машин меняется, и в них индуцируется ЭДС; по правилу Ленца ток в замкнутой обмотке идёт так, что магнитная сила, действующая на него, направлена против вращения. Возникает тормозной момент, совершающий отрицательную работу над поездом, а энергия уходит в сеть, а не в тепло. Вихревое поле подчиняется $\oint \vec E\cdot d\vec l=-\frac{d\Phi}{dt}$: чем быстрее едет поезд, тем больше $\frac{d\Phi}{dt}$, тем сильнее ток и тормозная сила, поэтому при снижении скорости торможение слабеет.

Зарядная площадка мощностью $15~\text{Вт}$ заряжает аккумулятор телефона $4000~\text{мА}\cdot\text{ч}$ (около $15~\text{Вт}\cdot\text{ч}$) примерно за $1{,}5~\text{ч}$; плоские катушки разделены пластиковой спинкой толщиной $5~\text{мм}$, а ток в площадке меняется с частотой около $150~\text{кГц}$. Ключи или монета, забытые на площадке, за минуту заметно нагреваются.

Правило Ленца объясняет и передачу энергии, и нагрев монеты: индукционный ток в катушке телефона течёт так, что его поле противодействует изменению потока от площадки. Поэтому площадка начинает потреблять от адаптера больший ток (отражённая нагрузка), а в приёмной катушке индуцированная ЭДС $\mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt}$ гонит ток в аккумулятор. Для монеты замкнутых витков для зарядки нет: вихревое электрическое поле крутит в ней кольцевые токи, и вся мощность рассеивается как $I^2R$-тепло.