Формула линзы, оптическая сила и оптические приборы

Тонкая линза связывает положение предмета и изображения формулой линзы: $\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i},$ где $f$ — фокусное расстояние, $d_o$ — расстояние от предмета до линзы, $d_i$ — расстояние от изображения до линзы. Для действительных предмета и изображения эти величины положительны; мнимое изображение даёт $d_i<0$, а рассеивающая линза имеет $f<0$. Оптическая сила $D=\frac{1}{f}$ измеряется в диоптриях (м$^{-1}$) и у тонких линз, сложенных вплотную, складывается: $D=D_1+D_2$. Линейное увеличение $\Gamma=\left|\frac{d_i}{d_o}\right|=\left|\frac{h_i}{h_o}\right|$ показывает, во сколько раз изображение больше предмета. Строя ход двух лучей — через оптический центр и параллельно главной оптической оси, — можно проверить положение и тип изображения без вычислений, как вы уже делали для зеркал. Оптические приборы — это комбинации линз: телескоп из двух собирающих линз с фокусными расстояниями $f_1$ (объектив) и $f_2$ (окуляр) имеет угловое увеличение $M=\frac{f_1}{f_2}$ и длину трубы $L=f_1+f_2$, а лупа увеличивает изображение потому, что предмет помещён ближе фокусного расстояния.

Собирающая линза имеет фокусное расстояние $f=10\ \text{см}$. Предмет находится на расстоянии $d_o=30\ \text{см}$ от линзы. Найдите расстояние до изображения, оптическую силу линзы и увеличение.

Линза имеет оптическую силу $D=+4\ \text{дптр}$. Предмет расположен на расстоянии $40\ \text{см}$ от неё. Где находится изображение, чему равно увеличение и является ли изображение действительным?

В телескопе расстояние между объективом и окуляром равно $L=105\ \text{см}$, а угловое увеличение $M=20$. Найдите фокусные расстояния и оптические силы обеих линз. Куда попадает изображение далёкого предмета, даваемое объективом?

Работайте с симуляцией по геометрической оптике (например, PhET «Geometric Optics») — это безопаснее и точнее, чем опыты с настоящими линзами.

1. Выберите собирающую линзу и для 6–8 положений предмета запишите пары значений $d_o$ и $d_i$.
2. Постройте график зависимости $\frac{1}{d_i}$ от $\frac{1}{d_o}$. Точки должны лечь на прямую с наклоном $-1$, а отрезок, отсекаемый на вертикальной оси, равен $\frac{1}{f}$.
3. Найдите $f$ из графика и вычислите оптическую силу $D=\frac{1}{f}$; сравните с паспортным значением линзы в симуляции.
4. Повторите опыт с рассеивающей линзой и объясните знак полученного $d_i$.

Предупреждение о безопасности: никогда не направляйте линзу на Солнце и не используйте лазерную указку — сфокусированный свет необратимо повреждает сетчатку глаза.

Показать геометрический смысл формулы линзы: как расстояние до предмета, фокусное расстояние и оптическая сила определяют положение, размер и тип изображения.

Схема: горизонтальная главная оптическая ось, тонкая линза в центре, фокусы $F$ и $F'$ на расстоянии $f$ слева и справа; стрелка-предмет на расстоянии $d_o$; два луча — параллельный оси, идущий после преломления через $F'$, и луч через оптический центр, — их пересечение даёт стрелку-изображение на расстоянии $d_i$.

Врезка справа: график зависимости $\frac{1}{d_i}$ от $\frac{1}{d_o}$ — прямая с наклоном $-1$ и отсечкой $\frac{1}{f}$ на вертикальной оси.

В камере телефона объектив имеет фокусное расстояние $f = 4{,}0\ \text{мм}$, а матрица стоит на расстоянии $d_i$ от линзы. Сначала телефон наводится на лицо друга на расстоянии $d_o = 1{,}0\ \text{м}$, затем — на цветок на расстоянии $d_o = 0{,}20\ \text{м}$. Из формулы линзы $\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o}$ получаем $d_i = 4{,}016\ \text{мм}$ в первом случае и $d_i = 4{,}082\ \text{мм}$ во втором. Значит, объектив должен сдвинуться всего на $66\ \text{мкм}$ — это и делает миниатюрный моторчик автофокуса.

Здесь работает сама формула тонкой линзы: $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$ показывает, что при неизменном $f$ расстояние до изображения $d_i$ растёт, когда предмет приближается. Поперечное увеличение $m = -\frac{d_i}{d_o}$ даёт размер изображения: лицо шириной $0{,}10\ \text{м}$ с расстояния $1{,}0\ \text{м}$ укладывается на матрице в полоску $0{,}40\ \text{мм}$.

Болельщик с трибуны смотрит на флаг размером $0{,}5\ \text{м}$ на противоположной стороне поля, до которого $100\ \text{м}$. Объектив бинокля имеет $f_o = 20\ \text{см}$, окуляр $f_e = 2{,}0\ \text{см}$, длина трубы примерно $f_o + f_e = 22\ \text{см}$. Невооружённым глазом флаг виден под углом $\frac{0{,}5}{100} = 0{,}005\ \text{рад}$, а в бинокль — под углом $0{,}005 \cdot 10 = 0{,}05\ \text{рад} \approx 2{,}9^\circ$.

Формула линзы применяется дважды. Для далёкого предмета $d_o \gg f_o$, поэтому $\frac{1}{d_i} \approx \frac{1}{f_o}$ и объектив строит действительное изображение практически в своей фокальной плоскости, на расстоянии $20\ \text{см}$. Окуляр работает как лупа: предмет (это изображение) стоит в его фокальной плоскости, и угловое увеличение прибора равно $M = \frac{f_o}{f_e} = \frac{20}{2{,}0} = 10\times$.

На кухне рецепт лежит на столе в $25\ \text{см}$ от глаз, но человеку удобно читать только с $50\ \text{см}$. Врач выписывает очки с оптической силой $D = +2{,}0\ \text{дптр}$, то есть $f = \frac{1}{D} = +0{,}50\ \text{м}$. Подставляем $d_o = 0{,}25\ \text{м}$: $\frac{1}{d_i} = \frac{1}{0{,}50} - \frac{1}{0{,}25} = 2 - 4 = -2\ \text{м}^{-1}$, откуда $d_i = -0{,}50\ \text{м}$.

Отрицательное $d_i$ — это виртуальное изображение: оно лежит в $0{,}50\ \text{м}$ позади линзы, с той же стороны, где и рецепт, и глаз фокусируется на нём без напряжения. Здесь задействованы и правило знаков в формуле линзы, и связь оптической силы с фокусным расстоянием $D = \frac{1}{f}$: значение $D = +2{,}0\ \text{дптр}$ означает собирающую линзу с $f = +0{,}50\ \text{м}$.