Колебательный контур и формула Томсона

Колебательный контур — это идеализированная цепь из конденсатора ёмкостью $C$ и катушки индуктивностью $L$, сопротивление которой считается равным нулю.

Если заряженный конденсатор замкнуть на катушку, электрическое поле конденсатора ослабевает, а ток в катушке растёт: энергия электрического поля $\dfrac{q^{2}}{2C}$ переходит в энергию магнитного поля $\dfrac{Li^{2}}{2}$. Когда конденсатор полностью разряжен, ток максимален, и катушка поддерживает его, перезаряжая конденсатор в обратной полярности.

Так возникают свободные гармонические колебания заряда $q(t) = q_m\cos(\omega t + \varphi_0)$ и тока $i(t) = q'(t)$ с собственной циклической частотой $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$. Отсюда формула Томсона для периода:

$$T = 2\pi\sqrt{LC}, \qquad \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.$$

Формула следует из уравнения $q'' = -\dfrac{1}{LC}q$, которое получается из закона сохранения энергии или из второго правила Кирхгофа для контура. Период растёт при увеличении $L$ или $C$; в реальном контуре с сопротивлением $R$ колебания затухают, но при $R \ll 2\sqrt{L/C}$ формула Томсона остаётся хорошим приближением собственной частоты.

Катушка индуктивностью $L = 0{,}10$ Гн соединена с конденсатором ёмкостью $C = 10$ мкФ. Сопротивление пренебрежимо мало. Найдите период $T$ и частоту $\nu$ свободных колебаний.

Приёмный контур радиоприёмника должен быть настроен на частоту $\nu = 500$ кГц. Ёмкость контура $C = 100$ пФ. Какую индуктивность $L$ нужно выбрать?

Конденсатор ёмкостью $C = 4{,}0$ мкФ зарядили до напряжения $U_0 = 10$ В и подключили к катушке индуктивностью $L = 1{,}0$ мГн (сопротивление равно нулю). Используя закон сохранения энергии, найдите максимальный ток $I_m$ и период колебаний $T$. Как изменятся $T$ и $I_m$, если ёмкость увеличить в 4 раза при неизменных $L$ и $U_0$?

План самостоятельной работы в симуляторе. Реальный контур с малым сопротивлением требует осциллографа и даёт быстро затухающие колебания, а работа с сетевым напряжением опасна, поэтому наблюдения проводите в виртуальной схеме (PhET «Колебательный контур», Falstad или аналогичная), используя только низковольтные параметры.

1. Соберите цепь: конденсатор, катушка, ключ; сопротивление примите минимальным.
2. Задайте $L = 0{,}1$ Гн и $C = 10$ мкФ, зарядите конденсатор и запустите колебания.
3. По графику $q(t)$ (или $u_C(t)$) измерьте период между двумя соседними максимумами и сравните с $T = 2\pi\sqrt{LC} \approx 6{,}3$ мс; запишите расхождение.
4. Увеличьте $L$ в 4 раза: сначала предскажите новый период, затем проверьте, что он вырос в 2 раза.
5. Уменьшите $C$ в 4 раза: проверьте, что период уменьшился в 2 раза.
6. Сформулируйте вывод о зависимости $T \propto \sqrt{LC}$ и запишите его в тетрадь.

Не подключайте собранный контур к сети 220 В и не используйте высокие напряжения.

Показать схему контура, обмен энергией между конденсатором и катушкой и фазовый сдвиг между зарядом и током за один период.

Схема: конденсатор $C$ и катушка $L$ в замкнутом контуре, стрелкой показано положительное направление тока. Под схемой — три графика в одних осях времени $t$ на интервале $0 \ldots T$: $q(t)$ — косинусоида, начинающаяся с максимума $q_m$; $i(t)$ — синусоида, равная нулю в этот момент (сдвиг $\pi/2$); энергии $W_C = q^{2}/(2C)$ и $W_L = Li^{2}/2$, сумма которых постоянна. Вертикальными линиями отмечены моменты $T/4$, $T/2$, $3T/4$, $T$.

В средневолновом приёмнике катушка на ферритовом стержне даёт $L = 1{,}0\ \mathrm{mH}$, а ручка настройки вращает переменный конденсатор, ёмкость которого меняется от $18\ \mathrm{pF}$ до $100\ \mathrm{pF}$. Формула Томсона $f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ даёт $f=1{,}19\ \mathrm{MHz}$ при $C=18\ \mathrm{pF}$ и $f=0{,}50\ \mathrm{MHz}$ при $C=100\ \mathrm{pF}$ — это и есть средневолновый вещательный диапазон. Станция на $900\ \mathrm{kHz}$ становится слышна только тогда, когда ручка вывела $C$ в резонанс.

Здесь работает формула периода контура $T=2\pi\sqrt{LC}$: собственная частота определяется произведением $LC$, поэтому при неизменной $L$ весь диапазон приёма задаётся двумя крайними значениями $C$. На резонансе энергия дважды за период переходит между электрическим полем конденсатора $\tfrac{1}{2}CU^2$ и магнитным полем катушки $\tfrac{1}{2}LI^2$, и ток в контуре максимален.

У поисковой катушки металлодетектора $L=1{,}0\ \mathrm{mH}$, конденсатор $C=100\ \mathrm{nF}$, поэтому по формуле контура $f=15{,}9\ \mathrm{kHz}$ и $T=63\ \mu\mathrm{s}$. Когда катушка проходит в 5 см над монетой, вихревые токи в металле увеличивают действующую индуктивность примерно на $1\%$; так как $T\propto\sqrt{L}$, период растёт на $0{,}5\%$, а частота падает на $80\ \mathrm{Hz}$ — с $15{,}9$ до $15{,}8\ \mathrm{kHz}$; электроника превращает этот сдвиг в звуковой сигнал.

Детектор — это колебательный контур, который транзистор поддерживает в незатухающих колебаниях: по формуле Томсона частота однозначно отсчитывает индуктивность катушки, ведь $f\propto 1/\sqrt{L}$, поэтому цель обнаруживают по сдвигу $\Delta f/f=-\tfrac{1}{2}\,\Delta L/L$, а не по изменению ёмкости. Обмен энергией $\tfrac{1}{2}CU^2\leftrightarrow\tfrac{1}{2}LI^2$ и есть то, что не даёт колебанию прекратиться.

Под стеклокерамической пластиной толщиной 4 мм лежит плоская катушка $L=100\ \mu\mathrm{H}$, включённая с конденсатором $C=0{,}40\ \mu\mathrm{F}$; собственная частота равна $f=25{,}2\ \mathrm{kHz}$, а период $T=40\ \mu\mathrm{s}$. Транзисторы переключаются точно на этой частоте и держат в катушке ток около $10\ \mathrm{A}$; такому току отвечает амплитуда напряжения на конденсаторе $U=I\sqrt{L/C}=158\ \mathrm{V}$. Наведённые этим полем вихревые токи нагревают дно стальной кастрюли массой 1,5 кг с литром воды.

Электроника ведёт контур на собственной частоте, которую задаёт формула Томсона, поэтому реактивная энергия $\tfrac{1}{2}CU^2=\tfrac{1}{2}LI^2$ перекачивается между конденсатором и катушкой, а не рассеивается. То же равенство энергий даёт связь амплитуд $U=I\sqrt{L/C}$ между наибольшим током и наибольшим напряжением в контуре.