Правила Кирхгофа для разветвлённых цепей

Правила Кирхгофа обобщают закон Ома для полной цепи $I = \frac{\varepsilon}{R + r}$ на схемы, которые нельзя свести к одной последовательно-параллельной цепочке.

Правило узлов: в любом узле алгебраическая сумма токов равна нулю, $\sum_k I_k = 0$, — заряд не накапливается, поэтому ток, втекающий в узел, равен току, вытекающему из него.

Правило контуров: вдоль любого замкнутого контура алгебраическая сумма разностей потенциалов равна нулю, $\sum_k \Delta V_k = 0$, — это закон сохранения энергии в расчёте на единицу заряда.

Чтобы применить правило контуров, выберите направление обхода: резистор, пройденный по току, даёт $-IR$, против тока $+IR$; источник, пройденный от $-$ к $+$, даёт $+\varepsilon$, от $+$ к $-$ даёт $-\varepsilon$.

Отрицательный ответ — не ошибка: он означает, что реальный ток течёт противоположно нарисованной стрелке, а его модуль верен.

При $n$ узлах записывают $n-1$ независимых уравнений для узлов и дополняют систему уравнениями для независимых контуров, так что число уравнений равно числу неизвестных токов ветвей.

В узле сходятся четыре провода. Токи $I_1 = 3$ A и $I_2 = 2$ A втекают в узел, а ток $I_3 = 1$ A вытекает из него. По правилу узлов найдите ток $I_4$ в четвёртом проводе и укажите его направление.

Узлы $A$ и $B$ соединены тремя параллельными ветвями.

• Ветвь 1: источник $\varepsilon_1 = 12$ В с внутренним сопротивлением $r_1 = 1\ \Omega$, положительный полюс у узла $A$.
• Ветвь 2: источник $\varepsilon_2 = 4$ В с внутренним сопротивлением $r_2 = 1\ \Omega$, положительный полюс у узла $A$.
• Ветвь 3: резистор $R = 2\ \Omega$.

Найдите ток в каждой ветви.

Узлы $A$ и $B$ соединены тремя ветвями.

• Ветвь 1: источник $\varepsilon_1 = 10$ В и резистор $R_1 = 1\ \Omega$ последовательно, положительный полюс у узла $A$.
• Ветвь 2: источник $\varepsilon_2 = 5$ В и резистор $R_2 = 1\ \Omega$ последовательно, положительный полюс у узла $A$.
• Ветвь 3: неизвестный резистор $R_3$; измеренный ток через него равен $3$ A и течёт от $A$ к $B$.

Найдите $R_3$ и токи в ветвях 1 и 2, затем проверьте правило контуров для контура из ветвей 1 и 3.

Проверьте оба правила в симуляции PhET Circuit Construction Kit: DC.

1. Соберите схему с одной батареей ($\varepsilon \approx 9$ В) и двумя резисторами, подключёнными между одной и той же парой узлов, чтобы получилось три ветви.
2. Включите амперметр последовательно в каждую ветвь и запишите ток вместе с его направлением.
3. Проверьте правило узлов: сложите токи алгебраически в каждом узле; сумма должна быть нулём в пределах погрешности отсчёта.
4. Подключите вольтметр к каждой ветви и проверьте правило контуров: при обходе любого замкнутого контура алгебраическая сумма измеренных разностей потенциалов должна быть нулём.
5. Измените одно сопротивление, повторите измерения и объясните, как перераспределяются токи.

Если повторяете опыт с реальными деталями, используйте только батарею низкого напряжения (не сеть) и включайте амперметр последовательно.

Заранее сделать явными знаковые соглашения правила контуров и обозначения узлов: на рисунке видно, где у каждого элемента полюс «$+$» и куда направлен каждый предполагаемый ток.

Помеченный эскиз схемы с двумя узлами и тремя ветвями: узел $A$ слева, узел $B$ справа; в каждой ветви источник $\varepsilon_k$, его внутреннее сопротивление $r_k$ и стрелка тока $I_k$; один штриховой контур со стрелкой обхода и пометкой $\sum_k \Delta V_k = 0$.

Аккумулятор автомобиля имеет ЭДС $\varepsilon = 12{,}0$ В и внутреннее сопротивление $r = 0{,}05$ Ом. Две фары включены параллельно, сопротивление нити каждой $R = 2{,}4$ Ом. Ток от плюсовой клеммы идёт по общему проводу до узла разветвления, где делится на две ветви.

Узел разветвления даёт правило токов: $I_0 = I_1 + I_2$. Параллельные ветви имеют общее сопротивление $R_{\text{пар}} = 1{,}2$ Ом, поэтому ток в общем проводе $I_0 = \dfrac{\varepsilon}{R_{\text{пар}} + r} = \dfrac{12{,}0}{1{,}25} = 9{,}6$ А. Правило напряжений для контура с каждой фарой: $\varepsilon - I_0 r - I_k R = 0$, откуда напряжение на фарах $U = 12{,}0 - 9{,}6\cdot 0{,}05 = 11{,}52$ В и $I_1 = I_2 = U/R = 4{,}8$ А, что сходится с $I_0 = I_1 + I_2$. Если одна нить перегорит, её ветвь разомкнётся, но вторая лампа продолжит гореть: ток в ней станет $12{,}0/(2{,}4+0{,}05) = 4{,}9$ А.

Повербанк с ЭДС $\varepsilon = 5{,}00$ В и внутренним сопротивлением $r = 0{,}056$ Ом подключён разветвительным кабелем к телефону и планшету. Амперметр показывает в ветви телефона $I_1 = 1{,}20$ А, в ветви планшета $I_2 = 2{,}40$ А, а вольтметр на выходе — напряжение $U = 4{,}80$ В.

Общий провод несёт ток $I_0 = I_1 + I_2 = 3{,}60$ А — это правило токов, проверяемое одним амперметром на выходе. Контур с источником даёт правило напряжений $\varepsilon - I_0 r - U = 0$, откуда $I_0 r = 5{,}00 - 4{,}80 = 0{,}20$ В и $r = 0{,}056$ Ом. Каждая ветвь устройства — свой контур: $U - I_k R_k = 0$, поэтому сопротивление телефона $R_1 = 4{,}80/1{,}20 = 4{,}0$ Ом, а планшета $R_2 = 4{,}80/2{,}40 = 2{,}0$ Ом. При отключении планшета ток упадёт до $5{,}00/(4{,}0+0{,}056) = 1{,}23$ А.

На кухне в одну розетку с напряжением $U = 230$ В через тройник включены чайник мощностью $2000$ Вт и тостер мощностью $1000$ Вт. Розетка защищена предохранителем на $13$ А.

Приборы образуют параллельные ветви, и узел в тройнике даёт правило токов: $I_0 = I_1 + I_2 = \dfrac{2000}{230} + \dfrac{1000}{230} = 8{,}70 + 4{,}35 = 13{,}05$ А. Каждая ветвь — контур с общей для них сетевой ветвью: $U - I_k R_k = 0$, поэтому сопротивления нагревателей $R_1 = 230/8{,}70 = 26{,}4$ Ом и $R_2 = 230/4{,}35 = 52{,}9$ Ом. Ток в общем проводе $13{,}05$ А превышает номинал предохранителя $13$ А, и он размыкает цепь; при выключенном тостере ток $8{,}7$ А ниже предела и цепь работает.