Внутренняя энергия, работа и теплопередача

Внутренняя энергия $U$ тела — это сумма кинетической энергии хаотического движения его частиц и потенциальной энергии их взаимодействия. Поскольку хаотическое движение и есть тепловое движение, $U$ растёт с температурой: для одноатомного идеального газа $U = \frac{3}{2}\nu R T$. Изменить внутреннюю энергию можно ровно двумя способами — совершением работы и теплопередачей. Первый закон термодинамики записывается в виде $\Delta U = Q + A_{\text{внеш}},$ где $Q$ — теплота, полученная телом, а $A_{\text{внеш}}$ — работа, совершённая над телом внешними силами. Если газ сам расширяется и совершает работу $A_{\text{газ}}$, то $A_{\text{внеш}} = -A_{\text{газ}}$, и закон принимает вид $\Delta U = Q - A_{\text{газ}}$. Знаки несут физический смысл: $Q > 0$, когда тело получает теплоту, и $A_{\text{внеш}} > 0$, когда внешние силы сжимают тело, тогда как $Q < 0$ и $A_{\text{внеш}} < 0$ означают отдачу теплоты и расширение под действием самого тела.

Газ получил от нагревателя $Q = 300$ Дж теплоты и при расширении совершил работу $A_{\text{газ}} = 120$ Дж. Найдите изменение внутренней энергии газа.

Воздух в цилиндре сжимают: внешние силы совершают над газом работу $200$ Дж, при этом газ отдаёт окружающей среде $150$ Дж теплоты. Найдите изменение внутренней энергии и укажите, как изменилась температура.

Газ совершает замкнутый цикл $1 \to 2 \to 3 \to 1$.

• $1 \to 2$: газ получает $400$ Дж теплоты и совершает работу $150$ Дж.
• $2 \to 3$: изохорное охлаждение, внутренняя энергия уменьшается на $250$ Дж, работа не совершается.
• $3 \to 1$: внешние силы совершают над газом работу $100$ Дж.

Найдите теплоту на участках $2 \to 3$ и $3 \to 1$, работу газа за цикл и проверьте, что суммарное $\Delta U$ за цикл равно нулю.

Самопроверка в симуляции (безопасно, без нагревателей и открытого огня).

1. Откройте симуляцию PhET «Gas Properties» (или аналог) и выберите идеальный одноатомный газ в закрытом сосуде с поршнем.
2. Зафиксируйте начальные значения $T$ и $U$ (или объёма и давления).
3. Опыт A (только теплопередача): закрепите поршень, подведите теплоту. Убедитесь, что $A_{\text{газ}} = 0$, а $\Delta U = Q$.
4. Опыт B (только работа): уберите источник теплоты, медленно сожмите газ поршнем. Проверьте, что $Q = 0$, а $\Delta U = A_{\text{внеш}} > 0$.
5. Опыт C (оба механизма): сожмите газ, одновременно отводя теплоту, и найдите $\Delta U = Q + A_{\text{внеш}}$.
6. Запишите в таблицу по каждой строке: $Q$, $A_{\text{внеш}}$, вычисленное $\Delta U$ и наблюдаемое изменение $T$; отметьте строки, где знаки не совпали с ожиданием.

Вывод — 3 предложения: какие два механизма меняли $U$, как знак $Q$ соответствовал направлению теплопередачи и что происходило с $U$ при адиабатном сжатии.

Показать, что внутреннюю энергию меняют ровно два канала — теплопередача и работа, — и закрепить правило знаков для $Q$ и $A_{\text{внеш}}$ до подстановки чисел в формулу.

• Схема: прямоугольник с подписью система (газ) внутри пунктирной рамки окружающая среда.
• Входящие стрелки: $Q > 0$ (нагреватель подводит теплоту) и $A_{\text{внеш}} > 0$ (поршень вдавливается).
• Выходящие стрелки: $Q < 0$ (теплота уходит к холодильнику) и $A_{\text{внеш}} < 0$ (расширяющийся газ толкает поршень наружу).
• Рядом — столбчатая диаграмма для трёх случаев: только $Q$, только $A_{\text{внеш}}$, оба вместе; высота столбца равна $\Delta U$.
• Справа — график зависимости $U$ от $T$ для идеального газа: прямая, выходящая из начала координат, показывающая, что $\Delta U > 0$ всегда означает рост температуры.

Вы накачиваете шину велосипеда ручным насосом. За один ход вы давите на поршень с силой около $30\ \mathrm{Н}$ и проталкиваете его на $0{,}30\ \mathrm{м}$, то есть совершаете работу $A = F s = 9\ \mathrm{Дж}$. За 50 качков в воздух внутри цилиндра передаётся около $450\ \mathrm{Дж}$, и металл корпуса заметно теплеет — на ощупь он горячее воздуха в комнате на несколько градусов.

Внутренняя энергия меняется не только при теплопередаче, но и при совершении работы. Сжатие быстрое, теплообмен с окружающей средой не успевает ($Q \approx 0$), поэтому первое начало термодинамики даёт $\Delta U = A$: работа внешней силы переходит в кинетическую энергию молекул воздуха, и его температура растёт.

Чайник мощностью $2200\ \mathrm{Вт}$ нагревает $1{,}5\ \mathrm{л}$ воды за $4\ \mathrm{мин}$. Переданная воде энергия равна $Q = P t = 2200 \cdot 240 = 5{,}28 \cdot 10^{5}\ \mathrm{Дж}$. При удельной теплоёмкости воды $4200\ \mathrm{Дж/(кг\cdot К)}$ масса $1{,}5\ \mathrm{кг}$ нагревается на $\Delta T = \dfrac{5{,}28 \cdot 10^{5}}{1{,}5 \cdot 4200} \approx 84\ \mathrm{К}$ — от $20\ ^\circ\mathrm{C}$ почти до кипения.

Здесь воду никто не сжимает и не двигает, механическая работа равна нулю, поэтому изменение внутренней энергии целиком обеспечено теплопередачей: $\Delta U = Q$. Мощность нагревателя задаёт скорость этой передачи, а теплоёмкость связывает полученную энергию с ростом температуры.

Автомобиль массой $1200\ \mathrm{кг}$ тормозит от $25\ \mathrm{м/с}$ (это $90\ \mathrm{км/ч}$) до полной остановки. Его кинетическая энергия $E_k = \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{1200 \cdot 25^2}{2} = 3{,}75 \cdot 10^{5}\ \mathrm{Дж}$ переходит в тепло в тормозных дисках и шинах. Если бы всю эту энергию принял один тормозной диск массой $8\ \mathrm{кг}$ из чугуна ($c \approx 460\ \mathrm{Дж/(кг\cdot К)}$), он нагрелся бы на $\Delta T = \dfrac{3{,}75 \cdot 10^{5}}{8 \cdot 460} \approx 100\ \mathrm{К}$.

Сила трения торможения совершает отрицательную работу над автомобилем, и именно эта работа увеличивает внутреннюю энергию диска и колодок: механическая энергия не исчезает, а перераспределяется в энергию хаотического движения молекул. Нагретые детали затем отдают её воздуху уже теплопередачей.