Внутренняя энергия, количество теплоты и работа в термодинамике

Внутренняя энергия $U$ идеального газа — это суммарная кинетическая энергия его молекул; для одноатомного газа она зависит только от температуры: $U=\frac{3}{2}\nu RT$, поэтому $\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T$. Количество теплоты $Q$ и работа $A$ — не энергия, запасённая в теле, а два способа передачи энергии через его границу, где работа обобщает механическую работу из механики. Мы используем соглашение о знаках $\Delta U=Q+A_{\text{внеш}}=Q-A_{\text{газ}},$ где $Q>0$, если теплота подводится к газу, и $A_{\text{газ}}>0$, если газ расширяется и сам совершает работу. Так как $pV=\nu RT$, работа изобарного процесса равна $A_{\text{газ}}=p\,\Delta V$ и численно равна площади под графиком на $p$–$V$-диаграмме. Изопроцессы дают важные частные случаи: изохорный ($A=0$, $\Delta U=Q$), изотермический ($\Delta U=0$, $Q=A_{\text{газ}}$) и адиабатный ($Q=0$, $\Delta U=-A_{\text{газ}}$).

Одноатомный идеальный газ содержит $\nu = 2$ моль. Его температура повысилась на $\Delta T = 100$ К. Найдите изменение внутренней энергии. ($R = 8{,}31$ Дж/(моль·К))

Газ нагревают при постоянном давлении $p = 2\cdot 10^{5}$ Па, при этом его объём растёт от $V_1 = 3\cdot 10^{-3}$ м³ до $V_2 = 8\cdot 10^{-3}$ м³. Подведённая теплота $Q = 2{,}4$ кДж. Найдите работу газа и изменение его внутренней энергии.

Одноатомный идеальный газ с $\nu = 0{,}4$ моль быстро сжимают адиабатно. Работа внешних сил над газом $A_{\text{внеш}} = 750$ Дж. Найдите изменение внутренней энергии и изменение температуры и объясните, почему $Q=0$.

Самостоятельная работа с симуляцией (безопасно, без нагревателей и закрытых сосудов под давлением). Откройте симуляцию PhET «Свойства газа» в режиме идеального газа.

1. Зафиксируйте число молей $\nu$ и запишите начальные $p$, $V$, $T$.
2. Изотермический опыт: поддерживайте $T$ постоянной, меняйте объём и записывайте пары $(p,V)$. Убедитесь, что $pV\approx\text{const}$ и, следовательно, $\Delta U=0$, то есть $Q=A_{\text{газ}}$.
3. Изобарный опыт: подберите режим с постоянным давлением, измерьте $\Delta V$ и вычислите $A_{\text{газ}}=p\,\Delta V$; сравните эту работу с подведённой теплотой.
4. Изохорный опыт: закрепите объём, меняйте $T$ и проверьте, что $A_{\text{газ}}=0$ и $Q=\Delta U$.
5. Заполните таблицу: процесс, $Q$, $A_{\text{газ}}$, $\Delta U$, проверка равенства $\Delta U=Q-A_{\text{газ}}$.

Не используйте дома открытый огонь и герметичные сосуды: все наблюдения проводите только в симуляции.

Показать, что работа газа есть площадь под графиком в $p$–$V$-координатах, и что величины $Q$, $A_{\text{газ}}$ и $\Delta U$ связаны балансом первого начала для каждого процесса.

График $p$–$V$. По вертикальной оси $p$, по горизонтальной $V$. Участок A–B: горизонтальная прямая от $(V_1,p_0)$ до $(V_2,p_0)$ — изобарное расширение; заштрихованный прямоугольник под ней имеет площадь $p_0\,\Delta V=A_{\text{газ}}$. Участок B–C: вертикальная прямая при $V_2$ от $p_0$ до $p_1$ — изохорное охлаждение, площадь под ней равна нулю, поэтому $A_{\text{газ}}=0$.

Набросок точек. A $(V_1,p_0)$ → B $(V_2,p_0)$ → C $(V_2,p_1)$; стрелки показывают направление процесса, штриховка — работу.

Столбчатая диаграмма энергии. Для одного процесса рисуются три столбца: $Q$ (подведённая теплота), $A_{\text{газ}}$ (работа газа) и $\Delta U$, причём высоты выбраны так, чтобы выполнялось $\Delta U=Q-A_{\text{газ}}$, то есть столбец $\Delta U$ равен разности первых двух.

Вы накачиваете шину велосипеда ручным насосом. За один ход поршня вы давите с силой около $200\ \text{Н}$ и перемещаете поршень на $0{,}25\ \text{м}$, то есть совершаете работу $A \approx 50\ \text{Дж}$. После 30 быстрых качков корпус насоса становится заметно тёплым — до $40\text{–}50\ ^\circ\text{C}$, хотя воздух в комнате был $22\ ^\circ\text{C}$.

Работа, совершаемая над газом при быстром сжатии, не успевает уйти в окружающую среду в виде теплоты ($Q \approx 0$), поэтому она целиком идёт на увеличение внутренней энергии: $\Delta U = Q + W \approx W > 0$. Для идеального газа $U = \frac{3}{2}\nu RT$, значит вместе с $U$ растёт и температура — это видно по нагреву насоса.

Электрочайник мощностью $2000\ \text{Вт}$ нагревает $1{,}5\ \text{кг}$ воды от $20\ ^\circ\text{C}$ до $100\ ^\circ\text{C}$. Удельная теплоёмкость воды $c = 4200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})$, поэтому воде нужно $Q = cm\Delta T = 4200 \cdot 1{,}5 \cdot 80 = 5{,}04\cdot 10^5\ \text{Дж}$. При идеальном КПД это заняло бы $t = Q/P \approx 250\ \text{с}$.

Здесь энергия приходит именно как количество теплоты, а не как работа: объём воды при нагреве почти не меняется, поэтому $W \approx 0$ и вся теплота идёт во внутреннюю энергию, $\Delta U \approx Q = cm\Delta T$. Мощность нагревателя $P = Q/t$ связывает теплоту со временем нагрева.

Велосипедист вместе с велосипедом массой $80\ \text{кг}$ съезжает с горы высотой $100\ \text{м}$ и тормозит до полной остановки. Запасённая механическая энергия равна $mgh = 80 \cdot 9{,}8 \cdot 100 \approx 7{,}8\cdot 10^4\ \text{Дж}$; эта энергия уходит в тормозные колодки и обод, и после серии торможений обод нагревается на десятки градусов.

Сила трения совершает отрицательную работу над кинетической энергией колеса, но положительную работу над материалом колодок, поэтому механическая энергия не исчезает, а переходит во внутреннюю: $\Delta U = |W_{\text{тр}}| = 7{,}8\cdot 10^4\ \text{Дж}$. Внутренняя энергия здесь меняется только за счёт работы, $Q$ мал, пока торможение короткое.