Инертная масса и плотность: как свойства вещества определяют движение

Скорость и средняя скорость описывают, как меняется положение со временем, но не объясняют, почему одна и та же сила по-разному меняет скорость разных тел. Инертная масса $m$ тела характеризует его сопротивление изменению скорости: при одной и той же равнодействующей силе $F$ большее тело имеет меньшее ускорение, $a=F/m$. Плотность $\rho$ связывает инертную массу с объёмом для однородного вещества: $\rho=m/V$, поэтому $m=\rho V$ и $V=m/\rho$. Значит, масса и плотность — разные свойства: два тела могут иметь одинаковую массу, но разную плотность при разных объёмах, и одинаковый объём, но разную массу при разных плотностях. В расчётах согласуйте единицы; в СИ $m$ — килограммы, $V$ — кубические метры, $\rho$ — килограммы на кубический метр, $F$ — ньютоны, $a$ — метры на секунду в квадрате. При постоянной равнодействующей силе более плотное тело того же объёма имеет большую инертную массу и поэтому медленнее меняет свою скорость.

Тележка имеет инертную массу $m=2.0\,\mathrm{kg}$. Вдоль направления движения на неё действует равнодействующая сила $F=6.0\,\mathrm{N}$. Вычислите ускорение тележки и укажите использованную формулу.

Сплошной куб имеет объём $V=1.0\times10^{-3}\,\mathrm{m^3}$ и плотность $\rho=2500\,\mathrm{kg/m^3}$. На него действует равнодействующая сила $F=5.0\,\mathrm{N}$. Вычислите его инертную массу и ускорение.

Два шара имеют одинаковый объём $V=5.0\times10^{-4}\,\mathrm{m^3}$. Один сделан из алюминия с $\rho_A=2700\,\mathrm{kg/m^3}$, другой — из пластика с $\rho_P=900\,\mathrm{kg/m^3}$. Оба движутся с начальной скоростью $v_0=2.0\,\mathrm{m/s}$ и тормозятся одной и той же постоянной силой сопротивления $F=0.90\,\mathrm{N}$. Считая, что действует только эта сила, определите, какой шар проедет больше до остановки, и вычислите тормозной путь каждого. Используйте $d=v_0^2/(2a)$.

Используйте безопасную интерактивную симуляцию, например PhET Forces and Motion: Basics или Density.

1. В режиме силы и движения задайте постоянную силу, измерьте ускорение для тележек массой $1\,\mathrm{kg}$, $2\,\mathrm{kg}$ и $4\,\mathrm{kg}$; запишите или постройте график зависимости ускорения от массы.
2. В режиме плотности выберите материал и фиксированный объём, считайте массу и проверьте равенство $m=\rho V$.
3. Повторите для двух материалов одинакового объёма, но разной плотности; предскажите, какое тело позже остановится при одной и той же тормозящей силе, затем проверьте предсказание в режиме движения.
4. Составьте таблицу значений $m$, $V$, $\rho$, $F$ и $a$ и проверьте, что все единицы выражены в СИ.

Показать, что инертная масса определяет ускорение при заданной силе, а плотность связывает массу с объёмом для вещества.

Схема из двух панелей. Слева: две одинаковые тележки, одна с массой $m$, другая с массой $2m$, к каждой приложена одинаковая сила $F$; стрелки ускорения показывают $a=F/m$ и $a/2$. Справа: два куба одинакового объёма $V$, один с низкой плотностью $\rho_1$, другой с высокой плотностью $\rho_2>\rho_1$; подписи показывают $m_1=\rho_1 V$ и $m_2=\rho_2 V$, а кубы имеют одинаковый размер, но разные метки массы.

Футбольный мяч имеет массу $m_1=0.43\,\mathrm{kg}$ и летит со средней скоростью $v_1=25\,\mathrm{m/s}$. Ядро для толкания, используемое в лёгкой атлетике, имеет массу $m_2=7.26\,\mathrm{kg}$ и вылетает из руки со скоростью $v_2=13\,\mathrm{m/s}$. Вратарь, ловящий мяч, ощущает небольшое изменение движения; судье, останавливающему ядро, приходится прикладывать гораздо большую силу в течение более длительного времени. При равномерном замедлении за $1.0\,\mathrm{s}$ средняя скорость мяча меняется на $25\,\mathrm{m/s}$, а ядра — на $13\,\mathrm{m/s}$.

Сценарий использует инертную массу: при одинаковом характере изменения скорости ядро массой $7.26\,\mathrm{kg}$ сильнее сопротивляется изменению состояния движения, чем мяч массой $0.43\,\mathrm{kg}$. Соотношение средней скорости $v_{\mathrm{avg}}=\Delta s/\Delta t$ показывает, как быстро каждое тело движется до остановки, поэтому сравнение относится к массе, а не только к скорости.

Пустой грузовик имеет массу $12000\,\mathrm{kg}$ и берёт $20\,\mathrm{m^3}$ песка плотностью $1600\,\mathrm{kg/m^3}$. Масса песка равна $m=\rho V=1600\cdot20=32000\,\mathrm{kg}$, поэтому полная масса грузовика с песком равна $12000+32000=44000\,\mathrm{kg}$. И пустой, и гружёный грузовик едут со скоростью $v=15\,\mathrm{m/s}$. При равномерной остановке за $5.0\,\mathrm{s}$ гружёному грузовику требуется гораздо большая тормозящая сила; пустой грузовик меняет скорость легче.

Здесь плотность $\rho=m/V$ переводит объём песка в массу, а масса выступает мерой инертности: гружёный грузовик массой $44000\,\mathrm{kg}$ сопротивляется изменению скорости сильнее, чем пустой массой $12000\,\mathrm{kg}$. Средняя скорость $v_{\mathrm{avg}}=s/t$ задаёт одинаковое начальное движение, поэтому различие при торможении определяется массой.

Бутылка объёмом $1.0\,\mathrm{L}=1.0\times10^{-3}\,\mathrm{m^3}$ наполнена водой плотностью $1000\,\mathrm{kg/m^3}$; масса воды равна $1000\cdot1.0\times10^{-3}=1.0\,\mathrm{kg}$. Такая же бутылка наполнена подсолнечным маслом плотностью $920\,\mathrm{kg/m^3}$; масса масла равна $920\cdot1.0\times10^{-3}=0.92\,\mathrm{kg}$. Если обе бутылки толкнуть по столу со средней скоростью $0.50\,\mathrm{m/s}$ и затем остановить, бутылка с водой чуть сильнее сопротивляется изменению движения.

Сценарий связывает плотность и инертную массу: при одинаковом объёме $1.0\,\mathrm{L}$ плотность $\rho=m/V$ даёт разные массы $1.0\,\mathrm{kg}$ и $0.92\,\mathrm{kg}$. Средняя скорость до остановки одинакова, поэтому именно инертная масса определяет, какая бутылка труднее меняет скорость.