Уравнение идеального газа и изопроцессы

Уравнение состояния идеального газа связывает давление $p$, объём $V$, абсолютную температуру $T$ и количество вещества $\nu$:

$$pV=\nu RT,\qquad R\approx 8.31\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.$$

Через массу газа $m$ и молярную массу $M$ его записывают в виде $pV=\frac{m}{M}RT$. Температуру всегда подставляют в кельвинах ($T=t+273$), давление — в паскалях, поэтому объём удобно выражать в м³. Изопроцесс — это процесс, в котором один из параметров ($p$, $V$ или $T$) остаётся постоянным, а два других связаны простым законом. При $T=const$ выполняется закон Бойля–Мариотта $pV=const$, при $p=const$ — закон Гей-Люссака $V/T=const$, при $V=const$ — закон Шарля $p/T=const$. Для перехода между двумя состояниями удобно пользоваться объединённым газовым законом $\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$.

В баллоне объёмом $V=2.0$ л газ находится при температуре $T=300$ К и давлении $p=150$ кПа. Считая газ идеальным, найдите количество вещества $\nu$.

Газ занимает объём $V_1=5.0$ л при давлении $p_1=100$ кПа и температуре $T_1=280$ К. Его сжимают до $V_2=2.0$ л и одновременно нагревают до $T_2=350$ К. Найдите конечное давление $p_2$.

В цилиндре велосипедного насоса воздух занимает $V_1=100$ см³ при давлении $p_1=100$ кПа и температуре $T_1=293$ К. При быстром сжатии объём становится $V_2=25$ см³, а температура воздуха поднимается до $T_2=340$ К. (а) Найдите конечное давление. (б) Сравните его с давлением при изотермическом сжатии до того же объёма и объясните различие.

Откройте симуляцию «Gas Properties» (PhET) в режиме идеального газа и проведите три опыта, записывая данные в таблицу.

1. Изотерма. Зафиксируйте $T$ и $\nu$, меняйте $V$ и измеряйте $p$. Убедитесь, что произведение $pV$ остаётся постоянным.
2. Изобара. Поддерживайте постоянное $p$ (подвижный поршень с грузом), меняйте $T$ и проверьте, что $V/T=const$.
3. Изохора. Зафиксируйте $V$ (жёсткий сосуд), меняйте $T$ и проверьте, что $p/T=const$.
   Для каждого опыта постройте график в подходящих координатах. Безопасность: не нагревайте закрытые сосуды и не используйте бытовые баллоны под давлением — все наблюдения выполняйте в симуляции.

Показать, как уравнение состояния $pV=\nu RT$ превращается в простые законы при постоянном одном из параметров и как эти законы выглядят на графиках.

Схема из трёх панелей:

• (а) $p$–$V$: изотермы — гиперболы; кривая, лежащая дальше от начала координат, соответствует большей $T$;
• (б) $V$–$T$: изобары — прямые, продолжения которых проходят через начало координат; наклон меньше у большего $p$;
• (в) $p$–$T$: изохоры — прямые через начало координат; наклон больше у меньшего $V$.

Аквалангист на глубине $h = 20\ \text{м}$ выдыхает пузырёк объёмом $V_1 = 0.50\ \text{см}^3$. На этой глубине абсолютное давление равно $p_1 = p_0 + \rho g h = 1.0\times10^5 + 1000\times9.8\times20 \approx 2.96\times10^5\ \text{Па}$; температура воды около $10\ ^\circ\text{C}$ (283 K) по всему пути всплытия одна и та же, а у поверхности давление равно $p_0 = 1.0\times10^5\ \text{Па}$.

Работает изотермическая ветвь уравнения $pV = \nu RT$ — закон Бойля: при постоянных $T$ и $\nu$ произведение $pV$ неизменно. Поэтому $V_2 = V_1 \dfrac{p_1}{p_2} = 0.50 \times \dfrac{2.96\times10^5}{1.0\times10^5} \approx 1.5\ \text{см}^3$: пузырёк увеличивается почти втрое, и подъёмная сила Архимеда растёт вместе с объёмом.

Перед выездом в шине автомобиля воздух имеет температуру $15\ ^\circ\text{C}$ (288 K) и абсолютное давление $3.2\times10^5\ \text{Па}$ (2.2 бар сверх атмосферного). После 30 минут движения со скоростью $120\ \text{км/ч}$ шина прогрелась до $45\ ^\circ\text{C}$ (318 K), а её внутренний объём около $25\ \text{л}$ считается неизменным.

Это изохорная ветвь уравнения $pV = \nu RT$ — закон Гей-Люссака: при постоянных $V$ и $\nu$ отношение $p/T$ постоянно. Тогда $p_2 = p_1 \dfrac{T_2}{T_1} = 3.2\times10^5 \times \dfrac{318}{288} \approx 3.5\times10^5\ \text{Па}$, то есть манометрическое давление вырастает примерно на 0.33 бар — поэтому давление в шинах проверяют на холодной шине.

Оболочка теплового аэростата вмещает $V_1 = 2000\ \text{м}^3$ воздуха при $20\ ^\circ\text{C}$ (293 K). Горелка поднимает температуру воздуха внутри до $120\ ^\circ\text{C}$ (393 K), а так как оболочка открыта снизу, давление внутри остаётся равным наружному $1.0\times10^5\ \text{Па}$.

Здесь работает изобарная ветвь уравнения $pV = \nu RT$ — закон Шарля: при постоянном $p$ отношение $V/T$ постоянно. Воздух расширяется до $V_2 = V_1 \dfrac{T_2}{T_1} = 2000 \times \dfrac{393}{293} \approx 2680\ \text{м}^3$, и около $680\ \text{м}^3$ горячего воздуха уходит через нижнее отверстие. Плотность падает с $1.20$ до $\dfrac{1.20 \times 293}{393} \approx 0.89\ \text{кг/м}^3$, и каждый кубометр оболочки даёт около $0.31\ \text{кг}$ подъёмной массы, то есть примерно $3.0\ \text{Н}$ подъёмной силы.