Кинематика и динамика гармонического осциллятора

Гармоническим осциллятором называют систему, в которой возвращающая сила пропорциональна смещению от положения равновесия и направлена к нему: $F = -kx$.

Второй закон Ньютона даёт $ma = -kx$, поэтому ускорение подчиняется уравнению $a = -\omega^2 x$, где $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad \omega = \frac{2\pi}{T};$ это и есть динамика осциллятора. Решением этого уравнения является кинематика движения: $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi).$ Двукратное дифференцирование даёт $v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi), \qquad a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x(t).$ Амплитуда $A$ и начальная фаза $\varphi$ определяются начальными положением и скоростью; это опирается на предварительные знания о потенциальной энергии и сохранении механической энергии. Поскольку сила консервативна и $U = \tfrac12 kx^2$, полная механическая энергия $E = \tfrac12kx^2 + \tfrac12mv^2 = \tfrac12kA^2 = \text{const}$ сохраняется, что позволяет находить скорость без решения уравнений движения по времени.

Тело на пружине колеблется по закону $x(t) = A\cos(\omega t)$ с $A = 0.10\ \text{м}$ и периодом $T = 2.0\ \text{с}$. Найдите $x$, $v$ и $a$ в момент $t = 0.50\ \text{с}$.

Брусок массой $m = 0.50\ \text{кг}$ прикреплён к пружине жёсткостью $k = 8.0\ \text{Н/м}$ и отпущен из состояния покоя при $x_0 = 0.040\ \text{м}$. Найдите $\omega$, период $T$, максимальную скорость и скорость при $x = 0.020\ \text{м}$.

Тот же осциллятор ($m = 0.50\ \text{кг}$, $k = 8.0\ \text{Н/м}$, значит $\omega = 4.0\ \text{рад/с}$) запущен при $x_0 = 0.030\ \text{м}$ и $v_0 = -0.40\ \text{м/с}$. Запишите $x(t)$ и найдите первое после $t = 0$ время прохождения положения равновесия.

Используйте симуляцию Masses and Springs (PhET) или аналогичную модель масса–пружина; наблюдения и измерения проводите в симуляции, а не с реально подвешенными грузами.

1. Задайте $k = 8.0\ \text{Н/м}$ и $m = 0.50\ \text{кг}$. До запуска предскажите $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ и запишите предсказание.
2. Оттяните груз до $A = 0.040\ \text{м}$, отпустите и запишите график $x(t)$. Измерьте период по последовательным прохождениям положения равновесия и сравните с предсказанием.
3. Повторите при $A = 0.020\ \text{м}$ и $A = 0.060\ \text{м}$. Отметьте, меняется ли период при изменении амплитуды.
4. Запишите скорость при $x = 0$ и при $x = A$; сравните с $A\omega$ и с нулём.
5. Постройте графики $x$, $v$, $a$ на одном и том же интервале времени и проверьте сдвиги фаз: $v$ опережает $x$ на $T/4$, а $a$ противоположно $x$.
6. Измените массу на $2.0\ \text{кг}$, сначала предскажите новый период, затем измерьте его и сравните с $2\pi\sqrt{m/k}$.

Показать, как положение, скорость и ускорение гармонического осциллятора связаны во времени: $v$ опережает $x$ на четверть периода, а $a$ противоположно по знаку $x$ и подчиняется $a = -\omega^2 x$.

Три графика, расположенные друг над другом и имеющие общую горизонтальную ось времени за один полный период $T$: $x(t) = A\cos(\omega t)$, $v(t) = -A\omega\sin(\omega t)$ и $a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t)$. Вертикальная штриховая линия при $t = T/8$ соединяет значения на всех трёх графиках; рядом — небольшой схематичный рисунок груза на пружине с осью $x$ и отмеченным положением равновесия.

Передняя ось автомобиля массой $1400\ \text{kg}$ несёт $700\ \text{kg}$, поэтому каждая из двух её пружин держит $m = 350\ \text{kg}$ при жёсткости $k = 2.8\times10^{4}\ \text{N/m}$. На «лежачем полицейском» кузов опускается на $A = 5.0\ \text{cm}$ и отпускается. Угловая частота равна $\omega=\sqrt{k/m}=8.9\ \text{rad/s}$, поэтому кузов колеблется с периодом $T=2\pi\sqrt{m/k}=0.70\ \text{s}$, а максимальные скорость и ускорение составляют $v_{\max}=\omega A=0.45\ \text{m/s}$ и $a_{\max}=\omega^{2}A=4.0\ \text{m/s}^{2}$ (около $0.4g$).

Это гармонический осциллятор в чистом виде: возвращающая сила линейна, $F=-kx$, и второй закон Ньютона даёт $a=-\frac{k}{m}x$, откуда $x=A\cos(\omega t)$ с $\omega=\sqrt{k/m}$. Пример задействует кинематические связи $v=\dot x$ и $a=\ddot x$, сдвинутые по фазе на четверть периода относительно смещения, и тот факт, что период $T$ не зависит от амплитуды $5.0\ \text{cm}$.

Струна «ля» гитары звучит на $f = 110\ \text{Hz}$. Её колеблющаяся часть длиной $0.65\ \text{m}$ имеет линейную плотность $1.5\ \text{g/m}$, то есть $m = 9.8\times10^{-4}\ \text{kg}$; защипнутая посередине, она колеблется с амплитудой $A = 1.0\ \text{mm}$. Тогда $\omega = 2\pi f = 691\ \text{rad/s}$, эффективная жёсткость $k = m\omega^{2} = 4.7\times10^{2}\ \text{N/m}$, максимальная скорость середины струны $v_{\max}=\omega A = 0.69\ \text{m/s}$, а максимальное ускорение $a_{\max}=\omega^{2}A = 4.8\times10^{2}\ \text{m/s}^{2}\approx 49g$. Запасённая механическая энергия равна $E=\tfrac12 kA^{2}=2.3\times10^{-4}\ \text{J}$.

Защипнутая струна подчиняется той же кинематике, что и груз на пружине: $x = A\sin(\omega t)$, $v = \omega A\cos(\omega t)$, $a = -\omega^{2}x$. Числа делают фазовые соотношения наглядными: скорость максимальна при $x=0$, а ускорение максимально при крайнем отклонении $1.0\ \text{mm}$, где скорость обращается в нуль.

Телефон в кармане бегуна записывает вертикальное движение корпуса: за один шаг корпус дважды поднимается и опускается, $f = 2.0\ \text{Hz}$, с амплитудой $A = 3.0\ \text{cm}$. Встроенный акселерометр опрашивается с частотой $100\ \text{Hz}$ и видит синусоидальный сигнал $a(t)$: $\omega = 2\pi f = 12.6\ \text{rad/s}$, а пиковое значение $a_{\max}=\omega^{2}A = 4.7\ \text{m/s}^{2}\approx 0.48g$. Скорость корпуса максимальна при $v_{\max}=\omega A = 0.38\ \text{m/s}$.

Корпус рассматривается как гармонический осциллятор, поэтому его ускорение $a=-\omega^{2}x$ пропорционально смещению и всегда направлено к середине шага; именно поэтому запись акселерометра синусоидальна, а её амплитуда растёт как квадрат частоты шагов. Подсчёт переходов сигнала через нуль даёт частоту шагов, так как один полный цикл $x=A\cos(\omega t)$ соответствует одному шагу.