Тяготение, законы Кеплера и космические скорости

Ньютон показал, что две точечные массы притягиваются вдоль соединяющей их прямой с силой $F = G\,\frac{m_1 m_2}{r^{2}},\qquad G \approx 6.67\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}.$

Для тела на круговой орбите радиуса $r$ эта сила играет роль центростремительной, поэтому $G M m / r^{2} = m v^{2}/r$, откуда

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}.$$

Из закона всемирного тяготения, приложенного к общему (не обязательно круговому) движению двух тел совместно со вторым законом Ньютона, следуют три закона Кеплера: планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце; радиус-вектор заметает равные площади за равные времена; квадраты периодов относятся как кубы больших полуосей, $T^{2}/a^{3} = \mathrm{const}$. Уравнение круговой орбиты выше — частный случай: оно воспроизводит третий закон лишь для кругового движения ($T^{2} \propto r^{3}$), а первый и второй законы требуют некругового движения.

Второй закон Кеплера — это сохранение момента импульса: в перигелии и афелии $v\,r = \mathrm{const}$, поэтому комета вблизи Солнца движется быстрее.

Приравняв тяготение к «весу» у поверхности планеты, получаем первую космическую скорость: $v_1 = \sqrt{gR} = \sqrt{GM/R} \approx 7.9\ \mathrm{km/s}$ для Земли.

Вторая космическая скорость находится из условия нулевой полной энергии $\frac{1}{2}v^{2} - GM/R = 0$, откуда $v_2 = \sqrt{2GM/R} = \sqrt{2}\,v_1 \approx 11.2\ \mathrm{km/s}$.

Спутник массой $m = 500$ кг движется по круговой орбите радиуса $r = 1.28\times10^{7}$ м вокруг Земли. Приняв $GM = 3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$, найдите силу тяготения, действующую на спутник, и напряжённость поля тяготения (ускорение свободного падения) на этой высоте.

Найдите радиус геостационарной орбиты, на которой спутник обращается вокруг Земли с периодом $T = 8.64\times10^{4}$ с (24 ч), и его скорость. Используйте третий закон Кеплера и $GM = 3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$.

Комета движется вокруг Солнца по эллипсу с перигелийным расстоянием $r_p = 1.0\times10^{11}$ м и афелийным $r_a = 5.0\times10^{11}$ м. Используя второй закон Кеплера и закон сохранения энергии, найдите скорость кометы в перигелии и в афелии. Примите $GM_{\odot} = 1.33\times10^{20}\ \mathrm{m^3/s^2}$.

Самостоятельная работа в симуляции (безопасный способ: реальные орбитальные измерения недоступны).

1. Откройте симуляцию «Гравитация и орбиты» (PhET) или аналогичную.
2. Оставьте массу центрального тела неизменной и создайте не менее пяти круговых орбит с разными радиусами $r$; для каждой запишите $r$ и период $T$.
3. Для каждой орбиты вычислите $r^{3}$ и $T^{2}$ и постройте график зависимости $T^{2}$ от $r^{3}$.
4. Убедитесь, что точки лежат на прямой через начало координат, и найдите угловой коэффициент $k = T^{2}/r^{3}$; сравните его с $4\pi^{2}/(GM)$.
5. Уменьшите массу центрального тела вдвое, повторите одно измерение и проверьте, что коэффициент вырос вдвое — это и есть третий закон Кеплера.

Показать геометрический смысл законов Кеплера и то, что третий закон $T^{2} \propto a^{3}$ проверяется прямой линией на графике.

Схема из двух панелей.

• Слева — эллиптическая орбита, Солнце в одном из фокусов; два сектора, заметаемые радиус-вектором за равные промежутки времени, закрашены и имеют равные площади (второй закон).
• Справа — график: по оси абсцисс $a^{3}$, по оси ординат $T^{2}$; точки для нескольких планет ложатся на прямую, выходящую из начала координат (третий закон).

Международная космическая станция летает на высоте около $400$ км над поверхностью Земли. При радиусе Земли $R \approx 6400$ км радиус орбиты равен $r \approx 6800$ км $= 6{,}8\cdot10^{6}$ м, а $GM = 3{,}99\cdot10^{14}$ м$^3$/с$^2$. Тогда скорость станции

$$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{3{,}99\cdot10^{14}}{6{,}8\cdot10^{6}}}\approx 7{,}7\ \text{км/с},$$

а период $T = 2\pi r/v \approx 5550$ с $\approx 92$ мин. За сутки экипаж видит около 16 восходов Солнца.

Здесь работает первый космический (круговая) скорость: сила тяготения $F=GMm/r^2$ играет роль центростремительной силы, откуда $v=\sqrt{GM/r}$. Это прямое следствие второго закона Ньютона, применённого к движению по окружности.

Тарелка спутникового телевидения смотрит на спутник, который висит в одной точке неба. Его период должен совпадать со звёздными сутками: $T = 86\,164$ с. Из третьего закона Кеплера

$$a=\sqrt[3]{\frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}}=\sqrt[3]{\frac{3{,}99\cdot10^{14}\cdot(86\,164)^{2}}{4\pi^{2}}}\approx 4{,}22\cdot10^{7}\ \text{м},$$

то есть $42\,200$ км от центра Земли и высота $\approx 35\,800$ км. Скорость спутника $v = 2\pi a/T \approx 3{,}1$ км/с.

Пример проверяет третий закон Кеплера $T^{2} = 4\pi^{2}a^{3}/(GM)$: только на одном радиусе период обращения равен суткам, поэтому геостационарная орбита единственна. Множитель $GM$ — та же гравитационная постоянная, что и в законе всемирного тяготения.

Ракета-носитель разгоняет ступень до $7{,}9$ км/с, чтобы выйти на низкую орбиту, и до $11{,}2$ км/с, чтобы навсегда покинуть Землю. Для полёта к Марсу на низкой орбите ($h=200$ км) включàют двигатель и добавляют $\approx 3{,}6$ км/с. Перелёт идёт по половине эллипса Гомана: Земля на $1{,}00$ а.е., Марс на $1{,}52$ а.е., большая полуось $a = (1{,}00+1{,}52)/2 = 1{,}26$ а.е. По третьему закону Кеплера $T = a^{3/2} = 1{,}42$ года, значит перелёт занимает $T/2 \approx 0{,}71$ года $\approx 259$ суток.

Вторая космическая скорость $v_{2}=\sqrt{2GM/R}=11{,}2$ км/с следует из закона сохранения энергии: кинетическая энергия ровно компенсирует гравитационную потенциальную $-GMm/R$. Форма траектории и время перелёта определяются первым и третьим законами Кеплера; вблизи перигелия (у Земли) аппарат движется быстрее, чем у афелия, — это второй закон Кеплера.