Графическое представление измерений с неопределённостью: моделирование и вычислительное исследование

Каждое измеренное значение несёт неопределённость $u$, заданную разрешением прибора и разбросом повторных измерений. На графике значение изображают точкой, а неопределённость — отрезком («усом») полной длины $2u$: истинное значение с высокой вероятностью лежит внутри этого интервала. Линейная модель $y = kx + b$ считается допустимой, если существует прямая, проходящая одновременно через все интервалы неопределённости.

Наклон такой прямой даёт $k$, а крайние допустимые прямые ограничивают коридор, ширина которого равна $2\Delta k = k_{\max} - k_{\min}$; половину этой ширины и принимают за неопределённость наклона $\Delta k$. Точки на краях диапазона определяют $k$ сильнее всего, поэтому $x$ планируют так, чтобы охватить возможно более широкий интервал. Если через все усы нельзя провести ни одной прямой, линейная модель отвергается — и это тоже полноценный результат измерения.

Измерения растяжения пружины дали таблицу:

Неопределённости: $u_x = 0.1$ см, $u_y = 0.2$ Н. Постройте эти точки с усами и найдите наклон $k \pm \Delta k$.

Для тех же данных ($x$ от 1.0 до 3.0 см, $u_y = 0.2$ Н) найдите значение $y$ при $x = 0$ (свободный член $b$) вместе с его неопределённостью. Почему $\Delta b$ больше отдельного $u_y$?

Модель предсказывает наклон $2.2$ Н/см. Набор A (данные выше) даёт $k = 1.85 \pm 0.20$ Н/см. Набор B, полученный более грубой шкалой, даёт $k = 2.0 \pm 0.6$ Н/см. Для каждого набора решите, согласуется ли модель с данными, и объясните, какой набор информативнее.

Вычислительное исследование в электронной таблице или в Python — безопасно, никаких нагреваний и опасных веществ не требуется.

1. На отрезке $x = 0.5\ldots 4.0$ см сгенерируйте 8 значений по модели $y = 1.85x + 0.35$ и добавьте к каждому небольшой случайный шум.
2. Задайте $u_x = 0.1$ см, $u_y = 0.2$ Н и постройте точечный график с крестообразными усами.
3. Проведите центральную прямую и две крайние допустимые прямые; запишите $k \pm \Delta k$ и $b \pm \Delta b$.
4. Повторите всё, увеличив $u_y$ вдвое. Отметьте, во сколько раз выросло $\Delta k$ и изменился ли вывод о совместимости с моделью $y = 2.2x$.

Сохраните оба графика рядом и сравните ширину коридоров.

Показать, как неопределённость отдельной точки превращается в коридор допустимых прямых, и как из этого коридора читаются $\Delta k$ и интервал для $b$.

Подписанный эскиз-график: оси $x$ и $y$; три точки с прямоугольными усами $2u_x \times 2u_y$; сплошная центральная прямая; две штриховые крайние прямые, образующие заштрихованный коридор; горизонтальные скобки с подписями $2\Delta k$ (полная ширина коридора по наклону; $\Delta k$ — её половина) и $2\Delta b$ (полная ширина коридора при $x = 0$).

Ученик снимает бег одноклассника на дистанции $60$ м телефоном в режиме $240$ кадров в секунду. Метки через каждые $10$ м отмерены рулеткой с точностью $\pm 0{,}02$ м, а момент, когда бегун поравнялся с меткой, виден с точностью одного кадра, то есть $\pm 0{,}004$ с. Получены пары: $s = 0$ м при $t = 0$ с; $10$ м при $1{,}55$ с; $20$ м при $2{,}95$ с; $30$ м при $4{,}38$ с; $40$ м при $5{,}81$ с.

Каждая пара чисел становится точкой с крестом погрешностей: горизонтальная полоса $\pm 0{,}004$ с, вертикальная $\pm 0{,}02$ м. Прямая наилучшего приближения по участку $20$–$40$ м даёт наклон $7{,}0$ м/с; коридор, который допускают кресты, — от $6{,}95$ до $7{,}05$ м/с. Но на первых $20$ м точки ложатся систематически выше прямой и расходятся шире крестов, поэтому реалистичная оценка скорости — $(7{,}0 \pm 0{,}2)$ м/с. График с неопределённостями показывает границу между приборным разбросом и несовершенством модели.

Велосипедист на сухом асфальте тормозит с разных скоростей: велокомпьютер показывает скорость с точностью $\pm 0{,}5$ км/ч, а тормозной путь отмерен рулеткой с точностью $\pm 0{,}1$ м. Данные: $20$ км/ч — $2{,}3$ м; $25$ км/ч — $3{,}5$ м; $30$ км/ч — $5{,}1$ м; $35$ км/ч — $6{,}9$ м.

Зависимость $d$ от $v$ — парабола, поэтому данные переносят на график $d$ от $v^2$, где точки ложатся на прямую. Наклон этой прямой $0{,}073$ с$^2$/м; кресты погрешностей (по $v$ — $\pm 0{,}5$ км/ч, что при $30$ км/ч даёт по оси $v^2$ около $\pm 2$ м$^2$/с$^2$) расширяют допустимый наклон до $0{,}066$–$0{,}080$ с$^2$/м. Из $d = v^2/(2\mu g)$ наклон равен $1/(2\mu g)$, откуда $\mu = 0{,}70 \pm 0{,}07$: именно длина крестов на графике задаёт, с какой точностью вообще можно узнать коэффициент трения.

Кружку чая при $85{,}0\ ^\circ$C оставляют в комнате, где $22\ ^\circ$C. Термометр имеет цену деления $0{,}5\ ^\circ$C, секундомер — $\pm 1$ с. Измерения температуры: $85{,}0\ ^\circ$C при $t = 0$; $72{,}0\ ^\circ$C через $5$ мин; $62{,}5\ ^\circ$C через $10$ мин; $55{,}0\ ^\circ$C через $15$ мин; $49{,}0\ ^\circ$C через $20$ мин.

Разность с комнатой $\Delta T = T - 22\ ^\circ$C убывает как $\Delta T = \Delta T_0 e^{-t/\tau}$, поэтому строят график $\ln(\Delta T)$ от $t$ и получают прямую с наклоном $-0{,}042$ мин$^{-1}$. Вертикальный крест каждой точки — это цена деления термометра $\pm 0{,}5\ ^\circ$C; при $\Delta T \approx 30\ ^\circ$C это всего $\pm 0{,}017$ в логарифме, и прямые, ещё проходящие через все кресты, дают наклон от $-0{,}038$ до $-0{,}046$ мин$^{-1}$. Значит, постоянная времени равна $22$–$26$ мин, то есть $(24 \pm 2)$ мин. Переводя экспоненту в прямую, график делает погрешность наглядной.