Деление и синтез ядер: энергия связи и масс-энергетический баланс

В ядерной реакции сохраняются зарядовое число и полное число нуклонов, но сумма масс покоя продуктов не совпадает с суммой масс исходных ядер. Эта разность масс $\Delta m$ переходит в энергию по соотношению Эйнштейна $E=\Delta m c^2$; на практике $\Delta m$ измеряют в атомных единицах массы, а энергию — в мегаэлектронвольтах, где $1\ \text{u}\cdot c^2\approx 931.5\ \text{MeV}$. Энергия связи ядра $E_b=\Delta m c^2$ — это энергия, которую нужно затратить, чтобы разобрать ядро на отдельные нуклоны; для сравнения разных ядер удобнее удельная величина $E_b/A$. Кривая $E_b/A$ растёт от лёгких ядер до максимума около $^{56}\text{Fe}$ и медленно падает к тяжёлым ядрам, поэтому энергия выделяется при движении к вершине кривой: слияние лёгких ядер и деление тяжёлых. Энергетический выход реакции равен разности энергий связи: $Q=E_b(\text{продукты})-E_b(\text{исходные ядра})$, и при $Q>0$ эта энергия уносится кинетической энергией продуктов — именно так работает ядерная энергетика.

Найдите энергию, выделяющуюся в реакции синтеза дейтерия и трития:

$${}^{2}\text{H}+{}^{3}\text{H}\rightarrow{}^{4}\text{He}+n$$

Массы покоя: $m(^{2}\text{H})=2.014102\ \text{u}$, $m(^{3}\text{H})=3.016049\ \text{u}$, $m(^{4}\text{He})=4.002602\ \text{u}$, $m_n=1.008665\ \text{u}$; коэффициент перевода $931.5\ \text{MeV/u}$.

Один из каналов деления урана тепловым нейтроном:

$$n+{}^{235}\text{U}\rightarrow{}^{141}\text{Ba}+{}^{92}\text{Kr}+3n$$

Массы: $m(^{235}\text{U})=235.043930\ \text{u}$, $m(^{141}\text{Ba})=140.914411\ \text{u}$, $m(^{92}\text{Kr})=91.926156\ \text{u}$, $m_n=1.008665\ \text{u}$.

(а) Найдите энерговыделение на одно деление. (б) Оцените энергию, выделяемую при полном делении $1\ \text{g}$ урана-235.

В звёздах углерод может сливаться: $2\,{}^{12}\text{C}\rightarrow{}^{24}\text{Mg}$. Массовых таблиц под рукой нет, но известны удельные энергии связи: $E_{св}/A=7.68\ \text{MeV}$ для $^{12}\text{C}$ и $E_{св}/A=8.26\ \text{MeV}$ для $^{24}\text{Mg}$. Оцените энерговыделение реакции и объясните, почему этот расчёт даёт тот же результат, что и формула с массами.

Безопасный план самостоятельной работы (только расчёт и симуляция — никаких радиоактивных источников и облучения).

1. Откройте онлайн-симуляцию ядерного деления (например, PhET «Nuclear Fission») или калькулятор $Q$-значений. Работайте в режиме «песочницы»: цепная реакция и облучение моделируются, реальных веществ нет.
2. Возьмите из справочника три реакции: (i) синтез $^{2}\text{H}+{}^{3}\text{H}$, (ii) синтез $^{2}\text{H}+{}^{2}\text{H}$, (iii) деление $^{235}\text{U}$. Для каждой посчитайте $\Delta m$ и $Q$ в мегаэлектронвольтах.
3. Отметьте точку каждой реакции на кривой $E_{св}/A$ и объясните одним абзацем, почему знак $Q$ совпадает с направлением движения к вершине кривой.
4. Проверьте себя: для $1\ \text{г}$ вещества с массовым числом $A$ число ядер равно $N=\frac{1}{A}N_A$, а не просто $N_A$ (число Авогадро — это число частиц в моле, а не в грамме). Умножьте $Q$ на $N$ и сравните полученную энергию с теплотой сгорания $1\ \text{г}$ угля ($\approx 3\cdot 10^{4}\ \text{J}$); например, для $^{235}\text{U}$ это даёт $N\approx 2.56\cdot 10^{21}$ и $E\approx 7.1\cdot 10^{10}\ \text{J}$.

Все вычисления ведите на бумаге или в таблице; фиксируйте единицы измерения на каждом шаге.

Показать, что деление и синтез — это два пути к одной вершине кривой удельной энергии связи, и тем самым объяснить знак и величину энергетического выхода $Q$.

График-эскиз: по оси $X$ — массовое число $A$ (логарифмическая шкала от $1$ до $240$), по оси $Y$ — удельная энергия связи $E_{св}/A$ в $\text{MeV}$ (от $0$ до $9$). Кривая круто поднимается от $^{2}\text{H}$ ($\approx 1.1\ \text{MeV}$) к максимуму $^{56}\text{Fe}$ ($\approx 8.8\ \text{MeV}$), затем медленно опускается к $^{235}\text{U}$ ($\approx 7.6\ \text{MeV}$). На кривой отмечены точки $^{2}\text{H}$, $^{3}\text{H}$, $^{4}\text{He}$, $^{12}\text{C}$, $^{24}\text{Mg}$, $^{56}\text{Fe}$, $^{141}\text{Ba}$, $^{92}\text{Kr}$, $^{235}\text{U}$. Стрелка слева ведёт от лёгких ядер вверх к вершине с подписью «синтез, $Q>0$», стрелка справа — от $^{235}\text{U}$ вверх к области средних масс с подписью «деление, $Q>0$». Внизу — короткая легенда: высота подъёма по кривой пропорциональна выделившейся энергии.

Реактор электростанции делит ядра урана-235 по схеме $^{235}\mathrm{U} + n \rightarrow {}^{141}\mathrm{Ba} + {}^{92}\mathrm{Kr} + 3n$, выделяя около $200\ \mathrm{MeV} = 3.2\times10^{-11}\ \mathrm{J}$ на одно деление. Электростанция мощностью $1\ \mathrm{GW}$ (примерно $3\ \mathrm{GW}$ тепловой мощности при КПД 33 %) делит поэтому $\frac{3\times10^{9}}{3.2\times10^{-11}} \approx 9\times10^{19}$ ядер за секунду — это меньше $40\ \mathrm{mg}$ урана-235 в секунду. Один грамм урана-235 даёт около $8\times10^{10}\ \mathrm{J}$ — столько же, сколько сгорание примерно $3\ \mathrm{t}$ угля.

Здесь работает связь массы и энергии $E = \Delta m c^{2}$ через дефект масс: осколки $^{141}\mathrm{Ba}$, $^{92}\mathrm{Kr}$ и три нейтрона вместе легче исходного ядра $^{235}\mathrm{U}$ с нейтроном примерно на $0.2\ \mathrm{u}$, и именно этот дефицит массы превращается в кинетическую энергию разлетающихся осколков. Одновременно проверяются законы сохранения из ядерных реакций: число нуклонов $235+1 = 141+92+3 = 236$ и заряд $92 = 56+36$ совпадают слева и справа.

Каждую секунду Солнце превращает около $600\times10^{6}\ \mathrm{t}$ водорода в $595.7\times10^{6}\ \mathrm{t}$ гелия, то есть $\Delta m \approx 4.3\times10^{6}\ \mathrm{t}$ массы исчезает и появляется как энергия $E = \Delta m c^{2} \approx 3.9\times10^{26}\ \mathrm{J}$ за секунду — это и есть светимость Солнца $3.85\times10^{26}\ \mathrm{W}$. Суммарная реакция $4{}^{1}\mathrm{H} \rightarrow {}^{4}\mathrm{He} + 2e^{+} + 2\nu$ даёт $26.7\ \mathrm{MeV} = 4.3\times10^{-12}\ \mathrm{J}$. У орбиты Земли до нас доходит $1.36\ \mathrm{kW/m^{2}}$ этого потока в виде солнечного света.

Сценарий использует тот же дефект масс, что и при делении, но в сторону синтеза лёгких ядер: четыре протона имеют массу $4\times1.007276\ \mathrm{u} = 4.029104\ \mathrm{u}$, а ядро $^{4}\mathrm{He}$ — $4.001506\ \mathrm{u}$, разность $0.0276\ \mathrm{u}$ даёт $25.7\ \mathrm{MeV}$, и ещё $1.02\ \mathrm{MeV}$ добавляет аннигиляция двух позитронов. Энергия выделяется потому, что энергия связи на нуклон растёт от $0$ у $^{1}\mathrm{H}$ до $7.07\ \mathrm{MeV}$ у $^{4}\mathrm{He}$.

В токамаке ядра дейтерия и трития сливаются: $^{2}\mathrm{H} + {}^{3}\mathrm{H} \rightarrow {}^{4}\mathrm{He} + n$, выделяя $17.6\ \mathrm{MeV} = 2.8\times10^{-12}\ \mathrm{J}$ на одну реакцию. Альфа-частица уносит $3.5\ \mathrm{MeV}$ и греет плазму, нейтрон — $14.1\ \mathrm{MeV}$. Чтобы получить $500\ \mathrm{MW}$ термоядерной мощности за $400\ \mathrm{s}$, то есть $2\times10^{11}\ \mathrm{J}$, нужно $\frac{2\times10^{11}}{2.8\times10^{-12}} \approx 7\times10^{22}$ реакций — это всего около $0.6\ \mathrm{g}$ топлива D–T при температуре плазмы порядка $1.5\times10^{8}\ \mathrm{K}$.

Дефект масс виден прямо из табличных масс: $2.014102\ \mathrm{u} + 3.016049\ \mathrm{u} = 5.030151\ \mathrm{u}$ до реакции и $4.002602\ \mathrm{u} + 1.008665\ \mathrm{u} = 5.011267\ \mathrm{u}$ после, разность $0.018884\ \mathrm{u}$ даёт $Q = \Delta m c^{2} = 17.6\ \mathrm{MeV}$. Сохранение заряда и числа нуклонов ($2+3 = 5 = 4+1$) позволяет записать реакцию, а высокая температура нужна, чтобы преодолеть кулоновское отталкивание одинаково заряженных ядер.