Первый закон термодинамики для газовых процессов

Первый закон термодинамики — это закон сохранения энергии для процессов с газом: теплота $Q$, переданная газу, расходуется на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на работу $W$, совершаемую газом: $Q=\Delta U+W,\qquad \Delta U=Q-W.$ Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры; для одноатомного идеального газа $U=\frac32\nu RT$, поэтому $\Delta U=\frac32\nu R\Delta T$, а для произвольного идеального газа $\Delta U=\nu C_V\Delta T$. Работа газа при изменении объёма равна $W=\int p\,dV$; на $p$-$V$ диаграмме она численно равна площади под графиком процесса с учётом знака. Для изохорного процесса $dV=0$, поэтому $W=0$ и $Q=\Delta U$; для изотермического процесса $\Delta U=0$, поэтому $Q=W$; для адиабатного процесса $Q=0$, поэтому $\Delta U=-W$. Если газ расширяется, то $W>0$; при сжатии $W<0$. Теплота $Q>0$, если газ получает энергию, и $Q<0$, если отдаёт.

Газу передали $Q=500$ Дж теплоты. Газ расширился и совершил работу $W=200$ Дж. Найдите изменение внутренней энергии газа.

Идеальный газ изобарно расширяется при давлении $p=2{,}0\cdot10^5$ Па от $V_1=1{,}0\cdot10^{-3}$ м$^3$ до $V_2=2{,}5\cdot10^{-3}$ м$^3$. Газу сообщили $Q=900$ Дж теплоты. Найдите работу газа и изменение его внутренней энергии.

В циклическом процессе $A\to B$ газ изохорно получает $400$ Дж теплоты; $B\to C$ адиабатно расширяется, совершая $400$ Дж работы; $C\to A$ изотермически сжимается, отдавая $150$ Дж теплоты. Найдите суммарную работу газа за цикл и проверьте первое начало для всего цикла.

Проведите безопасный компьютерный эксперимент в симуляции идеального газа (например, PhET «Свойства газа»). Для одного и того же количества газа задайте начальные $p$, $V$, $T$. Выполните по очереди четыре процесса: изохорный нагрев, изотермическое расширение, адиабатное сжатие и изобарное расширение. Для каждого процесса запишите $Q$, $W$ и $\Delta T$, затем проверьте $\Delta U=Q-W$ и сравните с $\Delta U=\nu C_V\Delta T$. Не нагревайте закрытые сосуды и не используйте бытовые баллоны под давлением; все наблюдения проводите только в симуляции.

Показать, что первый закон термодинамики для газа — это баланс энергии: теплота, работа и изменение внутренней энергии связаны знаком и зависят от вида процесса.

Схема $p$-$V$: четыре кривые процесса со стрелками — вертикальная изохора ($W=0$), горизонтальная изобара ($W=p\Delta V$), гипербола изотермы ($\Delta U=0$) и адиабата ($Q=0$); под кривыми заштрихованы площади, равные работе газа. Рядом — блок баланса: $Q=\Delta U+W$ с подписями знаков $Q>0$, $W>0$, $\Delta U>0$.

В цилиндре дизельного двигателя за такт сжатия воздух уменьшает объём с $1.0\ \mathrm{L}$ до $0.05\ \mathrm{L}$ (степень сжатия 20), а давление растёт с $1\ \mathrm{atm}$ до $\approx 50\ \mathrm{atm}$. Сжатие длится около $20\ \mathrm{ms}$, поэтому теплообмен со стенками ничтожен: $Q \approx 0$. Температура при этом поднимается с $300\ \mathrm{K}$ до $\approx 900\ \mathrm{K}$, и впрыснутое топливо вспыхивает без свечи зажигания.

Здесь работает запись первого закона в виде $Q = \Delta U + W$, где $W$ — работа, совершаемая газом. При сжатии поршень совершает над газом работу, то есть $W < 0$, а $Q \approx 0$, значит $\Delta U = -W > 0$: почти вся затраченная работа переходит во внутреннюю энергию. Это предельный случай $Q = 0$, и именно он даёт нагрев, достаточный для самовоспламенения.

Аэрозольный баллон объёмом $0.5\ \mathrm{L}$ лежит на солнце. Воздух внутри при $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ ($293\ \mathrm{K}$) имеет давление $1\ \mathrm{atm}$ и содержит $n \approx 0.021\ \mathrm{mol}$ газа. Баллон жёсткий, его объём не меняется, поэтому $W = 0$. К полудню газ прогревается до $60\,^{\circ}\mathrm{C}$ ($333\ \mathrm{K}$), давление внутри растёт до $\approx 1.14\ \mathrm{atm}$, а подведённая теплота $Q = nC_V\Delta T \approx 0.021 \cdot 20.8 \cdot 40 \approx 17\ \mathrm{J}$ целиком уходит в внутреннюю энергию.

Это изохорный процесс: $V = const$, поэтому работа $W = \int p\,\mathrm{d}V = 0$ и первый закон принимает вид $Q = \Delta U = nC_V\Delta T$. Вся теплота идёт на увеличение внутренней энергии, а по уравнению состояния $pV = nRT$ при постоянных $V$ и $n$ рост температуры проявляется как рост давления — ровно в отношении $333/293 \approx 1.14$.

Летом у земли воздух при $20\,^{\circ}\mathrm{C}$ и давлении $1000\ \mathrm{hPa}$ поднимается восходящим потоком от нагретой поляны на $1.5\ \mathrm{km}$ за $10\ \mathrm{min}$. На этой высоте давление $840\ \mathrm{hPa}$, объём порции воздуха вырастает примерно на $13\ \%$, а температура падает примерно на $10\,^{\circ}\mathrm{C}$ на каждый километр (сухоадиабатический градиент), то есть до $\approx 5\,^{\circ}\mathrm{C}$.

Расширяясь против внешнего давления, воздух совершает положительную работу $W = \int p\,\mathrm{d}V > 0$. Обмен теплом с окружением не успевает произойти, поэтому $Q \approx 0$, и первый закон $\Delta U = Q - W$ даёт $\Delta U = -W < 0$: внутренняя энергия и температура падают за счёт работы расширения. Охлаждение до точки росы и есть причина конденсации водяного пара — появления облака.