Оптика в действии: как проверять заявления о волоконной оптике и изображениях

Волоконный световод удерживает свет полным внутренним отражением: на границе сердцевины и оболочки луч отражается, если угол падения превышает критический $\theta_c$, где $\sin\theta_c=n_2/n_1$.

Числовая апертура $NA=\sqrt{n_1^2-n_2^2}$ задаёт максимальный угол ввода из воздуха: $\sin\theta_{max}=NA$, поэтому заявление о «широком угле приёма» легко проверить вычислением.

Утверждения о потерях выражаются в децибелах: $L\,[\text{dB}]=10\log_{10}(P_{in}/P_{out})$, погонное затухание измеряется в дБ/км, а бюджет мощности складывается из потерь волокна, разъёмов и сростков.

Заявления об изображениях проверяются иначе: увеличение не равно разрешению, и предел разрешения задаёт дифракция, $\theta_{min}\approx 1.22\lambda/D$ или $d\approx 0.61\lambda/NA$.

Полезное утверждение проверяемо: в нём названа измеряемая величина, её единицы и условия опыта, иначе проверка невозможна.

Общий приём оценки: выделите величину, выберите формулу из пройденного (отражение, преломление, полное внутреннее отражение), подставьте разумные значения и сравните результат с заявлением — расхождение в разы означает, что заявление ошибочно.

Ступенчатое волокно имеет показатели преломления сердцевины $n_1=1.50$ и оболочки $n_2=1.48$. Найдите критический угол $\theta_c$ и числовую апертуру $NA$. Под каким наибольшим углом к оси можно вводить свет из воздуха?

Производитель заявляет: «Волокно с $n_1=1.50$ и $n_2=1.49$ принимает свет из воздуха под углом до $60^\circ$». Проверьте заявление двумя способами: через числовую апертуру и через угол падения на границу сердцевина–оболочка для луча, вошедшего под $60^\circ$.

Поставщик утверждает: «Линия длиной $25$ км с затуханием $0.40$ дБ/км и двумя разъёмами по $0.75$ дБ работает с запасом при бюджете мощности $12$ дБ». Проверьте расчёт, оцените надёжность утверждения и предложите независимое измерение, которое подтвердит или опровергнет заявление.

Самопроверка без опасных источников света.

1. Откройте симуляцию преломления и полного внутреннего отражения (например, PhET «Bending Light» / «Преломление света»), задайте $n_1=1.50$ и $n_2=1.48$. Медленно увеличивайте угол падения и найдите значение, при котором свет перестаёт выходить из среды; сравните его с $\theta_c=\arcsin(n_2/n_1)$.

2. Составьте таблицу и внесите три «рекламных» утверждения:

• угол приёма $30^\circ$ для $n_1=1.50$, $n_2=1.48$;
• $40$ км при $0.5$ дБ/км, двух разъёмах по $0.5$ дБ и бюджете $25$ дБ;
• разрешение $200$ нм при $NA=0.5$, $\lambda=550$ нм.

3. Для каждой строки вычислите $NA$, суммарные потери $L$ и предел $d\approx 0.61\lambda/NA$, затем пометьте утверждение как «подтверждено», «опровергнуто» или «недостаточно данных», указав решающую величину.

Безопасность: не смотрите в торец волокна и не направляйте лазер в глаза; любые измерения заменяйте симуляцией или светодиодом малой мощности.

Показать, почему свет удерживается в сердцевине и где именно рушится заявление: луч внутри конуса приёма испытывает полное внутреннее отражение, а луч вне конуса выходит через оболочку.

Схема (разрез волокна). Слева — торец и конус приёма в воздухе с полууглом $\theta_{max}$, где $\sin\theta_{max}=NA$. Справа — продольный разрез сердцевины $n_1$ и оболочки $n_2$ с тремя лучами: луч 1 входит под углом меньше $\theta_{max}$ и испытывает полное внутреннее отражение ($\alpha>\theta_c$); луч 2 идёт вдоль оси; луч 3 входит под углом больше $\theta_{max}$, и на границе $\alpha<\theta_c$, поэтому он преломляется в оболочку и показан выходящим. Внизу — горизонтальная полоса бюджета мощности: отрезок $10.0$ дБ (волокно) плюс $1.5$ дБ (разъёмы) и вертикальная отметка бюджета $12$ дБ.

Телефон рекламирует 108 МП. Его основной сенсор примерно $8{,}8\,mm \times 6{,}6\,mm = 58\,mm^2$, поэтому каждый пиксель имеет ширину около $0{,}8\,\mu m$. Объектив имеет диафрагму f/1.7, а длина волны света около 550 нм. Самое маленькое световое пятно, которое объектив может создать, имеет радиус около $r \approx 1{,}22 \lambda \cdot 1{,}7 = 1{,}22(0{,}55\,\mu m)(1{,}7)\approx1{,}1\,\mu m$. Оптическое пятно покрывает больше одного пикселя. Заявление: «108 МП даёт в три раза более мелкие реальные детали, чем 12 МП на том же сенсоре». Проверка: при 12 МП ширина пикселя около $\sqrt{58\,mm^2/(12\times10^6)}\approx2{,}2\,\mu m$, при 108 МП — около $0{,}8\,\mu m$. Сенсор 108 МП чаще выбирает отсчёты, но не заставляет объектив разрешать в три раза меньшие детали, если оптическое пятно равно $1{,}1\,\mu m$.

В сценарии используется преломление на криволинейных поверхностях линзы для фокусировки света, а затем проверяется, может ли заявленное число пикселей превысить размер оптического пятна. Проверка утверждения означает сравнение шага пикселей $p$ с масштабом сфокусированного пятна, а не принятие мегапикселей за разрешение само по себе.

Выпуклое зеркало на пассажирской двери имеет радиус кривизны $R=1200\,mm$, поэтому модуль фокусного расстояния $|f|=R/2=0{,}60\,m$. Автомобиль находится в $d_o=20\,m$ позади. Уравнение зеркала $1/f=1/d_o+1/d_i$ с $f=-0{,}60\,m$ даёт $d_i=-0{,}62\,m$, а увеличение $m=-d_i/d_o=0{,}031$. Изображение мнимое, прямое и составляет только 3,1% размера объекта. Предупреждение верно: маленькое изображение заставляет машину казаться дальше, чем она есть.

Сценарий использует закон отражения для выпуклого зеркала и уравнение зеркала; проверка заявления опирается на отражение, расстояние до изображения и увеличение.

Патч-корд для волоконного интернета рекламируется: «1 Гбит/с и можно согнуть на 90° вокруг дверной коробки без потерь». Сердцевина $n_1=1{,}48$, оболочка $n_2=1{,}46$. Критический угол полного внутреннего отражения: $\theta_c=\arcsin(n_2/n_1)=\arcsin(1{,}46/1{,}48)\approx80{,}6^\circ$ от нормали к границе сердцевина–оболочка. Поэтому луч должен падать на границу под углом больше $80{,}6^\circ$ к нормали, то есть идти в пределах примерно $90^\circ-80{,}6^\circ=9{,}4^\circ$ от оси волокна. В прямом кабеле это легко. Если кабель изогнут с радиусом $R=10\,mm$, угол луча к оси может меняться примерно на $\Delta\theta \approx s/R$ на пути $s$. Уже при $s=1\,mm$ получаем $\Delta\theta \approx 1\,mm/10\,mm=0{,}1\,rad\approx5{,}7^\circ$. Луч, начавшийся под $5^\circ$ к оси, может превысить предел $9{,}4^\circ$ и выйти наружу, поэтому часть «без потерь» неверна для очень тугого изгиба.

Сценарий использует полное внутреннее отражение и критический угол для проверки заявления; численная оценка показывает, почему у волокна есть минимальный радиус изгиба.