Оценка движения по видео и датчикам: от кадров к модели

Видео и датчики дают не само движение, а набор чисел: кадры с интервалом $\Delta t = 1/f$ или отсчёты акселерометра с частотой $f_s$. Первый шаг — задать масштаб по известному объекту (линейке, мячу известного диаметра) и превратить пиксели в метры, получив таблицу координат $x(t)$. Скорость оценивают разностями между соседними кадрами: $v_{i+1/2} = (x_{i+1}-x_i)/\Delta t$, поэтому точка графика $v(t)$ лежит «между» кадрами. Ускорение — это наклон графика $v(t)$ или вторая разность $a \approx (x_{i+1}-2x_i+x_{i-1})/\Delta t^{2}$. Реальные данные шумны, и шаг $\Delta t$ конечен, так что полезно оценивать погрешность $\delta v \approx \delta x/\Delta t$ и проверять, действительно ли вторые разности постоянны. Кинематика становится физической моделью только тогда, когда найденное ускорение согласуется со свободной схемой сил и вторым законом Ньютона $m\vec a = \sum \vec F$.

Видео снято с частотой 25 кадров/с, масштаб задан линейкой: $1\ \text{м} = 250\ \text{px}$. Мяч катится по полу, и в кадрах 0, 1, 2, 3 его координаты равны 0, 25, 50, 75 px. Найдите скорость мяча и её погрешность, если координата измеряется с точностью $\delta x = 1\ \text{px}$.

Объект падает, видео снято с частотой 20 кадров/с, поэтому $\Delta t = 0.05\ \text{с}$. Масштабированные координаты (м) по кадрам: 0, 0.012, 0.049, 0.110, 0.196. Определите характер движения, найдите ускорение и запишите модель $x(t)$. Согласуется ли результат со свободной схемой сил, если сопротивлением воздуха можно пренебречь?

Датчик телефона, закреплённого на тележке, даёт вдоль наклонной плоскости ускорение $a = 2.6\ \text{м/с}^{2}$ при угле наклона $\theta = 20^{\circ}$. Оцените коэффициент трения $\mu$ между тележкой и плоскостью и укажите, какие ещё проверки нужны, чтобы модели можно было доверять.

План самостоятельной работы (безопасно, без падений с высоты).

1. Съёмка. Положите телефон на штатив или на стопку книг так, чтобы он не упал, и снимите замедленное видео (120–240 кадров/с) катящегося по полу мяча. Рядом положите линейку. Бросать предметы и снимать падение с высоты не нужно: свободное падение разберём в симуляции.
2. Масштаб. В одном кадре измерьте длину линейки в пикселях и получите коэффициент $k$ (м/пиксель).
3. Таблица и график. Отметьте положение мяча в 6–10 последовательных кадрах, переведите в метры и постройте графики $x(t)$ и $v(t)$ (скорость — по разностям).
4. Симуляция. Откройте симуляцию движения с построением графиков (например, «Motion» / «Движение с постоянным ускорением»), задайте $a = 9.8\ \text{м/с}^{2}$ и сравните форму графика с вашими данными.
5. Вывод. Запишите, какая модель ($x = x_0 + v_0 t$ или $x = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}at^{2}$) описывает ваши данные, и какая погрешность $\delta v$ ожидается при вашем $\Delta t$.

Показать переход от дискретных кадров к непрерывной модели: как из отметок положения на кадрах получаются графики $x(t)$ и $v(t)$ и откуда берётся ускорение.

Схема + графики. Сверху — ряд кадров (прямоугольники) с отметками времени $t_0, t_1, t_2, \dots$ и отмеченным положением мяча; под ними — ось $x$ с теми же точками и штриховкой $\Delta x$. Слева внизу — график $x(t)$: точки, соединённые линией, с касательной, наклон которой даёт скорость. Справа внизу — график $v(t)$: точки, лежащие между кадрами, и прямая $v = v_0 + at$, наклон которой равен ускорению $a$.

На школьной дорожке бегун пробегает мимо отметки 60 м. Смартфон снимает его с частотой 240 кадров/с; интервал между кадрами $\Delta t = 1/240\,\text{s} \approx 4.17\,\text{ms}$. На двух соседних кадрах бедро бегуна смещается на $0.034\,\text{m}$ вдоль дорожки. Масштаб задан линией разметки длиной $1.00\,\text{m}$, которая занимает 100 пикселей.

Здесь работает переход от кадров к таблице «положение–время»: калибровка пикселей в метры, привязка к временным меткам и численная производная. Средняя скорость на интервале равна $v \approx \Delta x/\Delta t = 0.034\,\text{m}/0.00417\,\text{s} \approx 8.2\,\text{m/s}$, то есть наклон графика $x(t)$ между двумя кадрами.

Телефон закреплён на приборной панели автомобиля массой $1400\,\text{kg}$. При торможении с $50\,\text{km/h}=13.9\,\text{m/s}$ до нуля за $3.2\,\text{s}$ встроенный акселерометр записывает данные с частотой $50\,\text{Hz}$, то есть 160 отсчётов. Среднее ускорение вдоль движения $a \approx -13.9/3.2 \approx -4.3\,\text{m/s}^2$.

Оценка движения по датчику требует численного интегрирования ускорения: $\Delta v = a\,\Delta t$ для каждого из 160 интервалов, затем сложение. Схема сил автомобиля (сила тяжести, нормальная реакция, сила трения торможения) показывает, что горизонтальная сила трения создаёт это ускорение; при $m=1400\,\text{kg}$ средняя тормозная сила около $F=ma \approx 6.0\times10^3\,\text{N}$.

На пешеходном мосту акселерометр измеряет вертикальное ускорение с частотой $100\,\text{Hz}$ в течение $50\,\text{s}$ после проезда грузовика. Пиковое ускорение $0.80\,\text{m/s}^2$, доминирующая частота $2.5\,\text{Hz}$. Для синусоидального режима амплитуда смещения $A = a_{\text{max}}/(2\pi f)^2 \approx 0.80/(2\pi\cdot2.5)^2\,\text{m} \approx 3.2\,\text{mm}$.

Это пример обработки данных датчика: удаление постоянного смещения и дрейфа, переход от ускорения к смещению двойным численным интегрированием. Полученный график $y(t)$ показывает колебание моста; по нему можно прочитать амплитуду и период.