Равновесие, импульс и импульс силы: как управлять движением

Тело находится в равновесии, когда векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю: $\sum \vec F = 0$. Из второго закона Ньютона $\vec F_{\text{net}} = m\vec a$ сразу следует, что при равновесии ускорение равно нулю, а скорость постоянна: тело покоится или движется прямолинейно и равномерно. Импульс тела $\vec p = m\vec v$ — это мера количества движения, и при равновесии он тоже не меняется.

Изменение импульса задаёт импульс силы $\vec J = \vec F \Delta t$: чем дольше действует сила, тем больше изменение импульса. Поэтому мягкая подушка при том же изменении скорости действует дольше и создаёт меньшую силу, чем жёсткая стенка. Второй закон Ньютона в импульсной форме записывают как $\vec F_{\text{net}} = \Delta \vec p / \Delta t$.

Для системы тел внешние силы сообщают системе суммарный импульс, а внутренние силы лишь перераспределяют импульс между телами. Если внешние силы уравновешены, суммарный импульс системы сохраняется, хотя импульс каждого отдельного тела может меняться.

Тележка массой $m = 0.50\ \text{kg}$ движется по горизонтальному рельсу со скоростью $v_0 = 3.0\ \text{m/s}$. В течение $\Delta t = 0.40\ \text{s}$ на неё действует постоянная сила $F = 2.0\ \text{N}$, направленная против движения. Найдите импульс силы и конечную скорость тележки.

Мяч массой $m = 0.16\ \text{kg}$ подлетает к стенке со скоростью $12\ \text{m/s}$ и отскакивает со скоростью $10\ \text{m/s}$. Время контакта $\Delta t = 0.020\ \text{s}$. Найдите изменение импульса мяча и среднюю силу, действующую на него со стороны стенки.

Две тележки на горизонтальном рельсе без трения ($m_1 = 1.0\ \text{kg}$, $m_2 = 2.0\ \text{kg}$) покоятся, сжатая пружина между ними распрямляется. После этого тележка 1 движется влево со скоростью $3.0\ \text{m/s}$. Найдите скорость тележки 2, импульс силы, полученный каждой тележкой, и объясните, почему суммарный импульс системы не изменился, хотя импульс каждой тележки изменился.

1. Откройте симуляцию PhET Collision Lab (режим «Explore 1D»). Установите упругость 100 %, отключите трение.
2. Задайте две тележки, например $m_1 = 1.0\ \text{kg}$ и $m_2 = 2.0\ \text{kg}$, и сообщите им скорости. До столкновения запишите $p_1$, $p_2$ и сумму $p_1 + p_2$.
3. После столкновения снова измерьте импульсы и сравните сумму с начальной. Сформулируйте вывод о сохранении импульса при уравновешенных внешних силах.
4. Включите трение как внешнюю силу и повторите опыт: покажите, что теперь суммарный импульс меняется, а его изменение равно импульсу внешней силы.
5. Перейдите в Forces and Motion: Basics, приложите к ящику две силы и добейтесь условия $\sum \vec F = 0$; убедитесь, что скорость при этом постоянна, то есть тело находится в равновесии.

Все наблюдения выполняются в симуляции: реальные столкновения и броски твёрдых тел не нужны и потенциально опасны.

Показать, что при уравновешенных внешних силах импульс тела или системы не меняется, а неуравновешенная сила за время $\Delta t$ изменяет импульс на $\vec J = \vec F \Delta t$.

Схема из двух панелей. Слева: ящик на столе со стрелками сил, векторная сумма которых равна нулю, рядом неизменный вектор $\vec p$; подпись $\sum \vec F = 0 \Rightarrow \vec p = \text{const}$. Справа: график зависимости силы от времени $F(t)$ с постоянным ненулевым значением и заштрихованной площадью под графиком, равной импульсу $\vec J$; рядом стрелка изменения импульса $\Delta \vec p$.

Бейсбольный мяч массой $0.15\ \mathrm{kg}$ летит со скоростью $30\ \mathrm{m/s}$. Игрок ловит его, и перчатка отводится назад на $0.10\ \mathrm{m}$, пока мяч останавливается. Время торможения около $0.0067\ \mathrm{s}$; импульс мяча меняется с $p_i=mv=0.15\cdot30=4.5\ \mathrm{kg\cdot m/s}$ до $p_f=0$.

Здесь используется теорема об импульсе силы: $\vec J=\int \vec F\,dt=\Delta\vec p$; одинаковое изменение $\Delta p=-4.5\ \mathrm{kg\cdot m/s}$ даёт среднюю силу $F\approx |\Delta p|/\Delta t\approx 6.7\times10^2\ \mathrm{N}$. Отведение перчатки назад увеличивает $\Delta t$, поэтому сила, действующая на руку, меньше.

Пассажир массой $70\ \mathrm{kg}$ движется со скоростью $15\ \mathrm{m/s}$ ($54\ \mathrm{km/h}$). При аварии его импульс должен уменьшиться на $p=70\cdot15=1050\ \mathrm{kg\cdot m/s}$. Без ремня остановка занимает $0.050\ \mathrm{s}$; с подушкой безопасности и зоной смятия — $0.25\ \mathrm{s}$.

Теорема об импульсе силы $F_{\mathrm{avg}}=\Delta p/\Delta t$ показывает, что одно и то же $\Delta p=1050\ \mathrm{kg\cdot m/s}$ даёт $F_{\mathrm{avg}}\approx2.1\times10^4\ \mathrm{N}$ за $0.050\ \mathrm{s}$, но только $4.2\times10^3\ \mathrm{N}$ за $0.25\ \mathrm{s}$. Поэтому удерживающие устройства растягивают время действия импульса.

Телефон массой $0.20\ \mathrm{kg}$ падает со стола высотой $0.80\ \mathrm{m}$. В момент удара его скорость $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot9.81\cdot0.80}\approx3.96\ \mathrm{m/s}$, значит, импульс направлен вниз и равен $p=mv\approx0.79\ \mathrm{kg\cdot m/s}$. На ковре он останавливается за $0.050\ \mathrm{s}$; на плитке — за $0.0020\ \mathrm{s}$.

Из $\vec J=\Delta\vec p$ средняя равнодействующая сила $F_{\mathrm{avg}}\approx|\Delta p|/\Delta t$: около $16\ \mathrm{N}$ на ковре и около $4.0\times10^2\ \mathrm{N}$ на плитке. После остановки $\sum\vec F=0$, поэтому сила нормальной реакции равна весу телефона, $mg\approx1.96\ \mathrm{N}$.