Электродвижущая сила и внутреннее сопротивление

Реальный источник тока характеризуется электродвижущей силой $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$. Когда по цепи течёт ток $I$, часть ЭДС «теряется» внутри источника, поэтому напряжение на клеммах (оно же напряжение на нагрузке) равно

$$U = \varepsilon - I r.$$

Для замкнутой цепи с внешним сопротивлением $R$ закон Ома принимает вид

$$I = \frac{\varepsilon}{R + r}.$$

При разомкнутой цепи ($I \to 0$) получаем $U \to \varepsilon$: именно поэтому ЭДС измеряют вольтметром с очень большим сопротивлением. Полезная мощность равна $P_{\text{полезн}} = I^2 R = UI$, потери внутри источника $P_{\text{внутр}} = I^2 r$, полная мощность $\varepsilon I$, а КПД $\eta = \frac{R}{R + r}$. Максимум полезной мощности достигается при согласовании $R = r$, но тогда КПД равен лишь $50\%$.

Батарея с ЭДС $\varepsilon = 12$ В и внутренним сопротивлением $r = 0{,}5$ Ом замкнута на резистор $R = 5{,}5$ Ом. Найдите силу тока в цепи и напряжение на клеммах батареи.

Источник с ЭДС $\varepsilon = 9$ В и внутренним сопротивлением $r = 1{,}2$ Ом замкнут на неизвестный резистор $R$. Вольтметр на клеммах источника показывает $U = 7{,}5$ В. Найдите силу тока, сопротивление $R$ и мощность, теряемую внутри источника.

Источник с ЭДС $\varepsilon = 24$ В подключён к резистору $R = 6$ Ом, при этом напряжение на клеммах равно $U = 18$ В. Найдите внутреннее сопротивление $r$, мощность потерь и КПД. Затем определите, при каком сопротивлении нагрузки полезная мощность максимальна, и вычислите это максимальное значение.

Самостоятельное исследование в симуляции (например, PhET «Электрические цепи» или любой симулятор цепей постоянного тока).

1. Соберите цепь: источник с заданными $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$, последовательно с ним — переменный резистор $R$, амперметр в цепи и вольтметр на клеммах источника.
2. Задайте несколько значений $R$ (например, $1, 2, 4, 8, 16$ Ом) и для каждого запишите пару $(I, U)$.
3. Постройте график $U$ от $I$ и убедитесь, что точки ложатся на прямую $U = \varepsilon - I r$.
4. Найдите $\varepsilon$ как точку пересечения прямой с осью $U$, а $r$ — как модуль наклона прямой.
5. Повторите опыт для другого значения ЭДС и сравните полученные $r$.

Почему только в симуляции: реальную батарею легко замкнуть накоротко ($R \to 0$), при этом ток $I = \varepsilon / r$ велик, источник перегревается и может воспламениться. Не выполняйте данный опыт с настоящими батареями.

Показать, что напряжение на клеммах реального источника линейно падает с ростом тока, и связать параметры этой прямой с ЭДС и внутренним сопротивлением.

Слева — схема: источник, изображённый как идеальная ЭДС $\varepsilon$ последовательно с внутренним сопротивлением $r$, замкнутый на внешнее сопротивление $R$ с амперметром и вольтметром. Справа — график $U(I)$: прямая линия $U = \varepsilon - I r$ с точкой пересечения $(0, \varepsilon)$ на оси напряжения и наклоном $-r$; внизу под осью тока отмечены соответствующие значения $I = \varepsilon / (R + r)$, а штриховой линией показано падение $I r$.

Литий-ионный элемент смартфона имеет $\varepsilon = 3.85\ \text{V}$ и внутреннее сопротивление $r \approx 0.08\ \Omega$, пока он новый. При съёмке видео в 4K телефон потребляет $I = 1.6\ \text{A}$, поэтому напряжение на клеммах равно $U = \varepsilon - Ir = 3.85 - 1.6 \times 0.08 = 3.72\ \text{V}$, а $P = I^2 r = 0.20\ \text{W}$ рассеивается в виде тепла внутри элемента. После двух лет зарядок $r$ может вырасти до $0.3\ \Omega$, и при той же нагрузке $U = 3.85 - 0.48 = 3.37\ \text{V}$ — этого хватает, чтобы телефон выключился, хотя индикатор заряда ещё показывает 40 %.

Пример задействует смысл $\varepsilon$ как полного подъёма потенциала внутри источника и смысл $r$ как сопротивления внутри источника: падение $Ir$ вычитается из $\varepsilon$ и до внешней цепи не доходит — оно нагревает элемент.

На аккумуляторе автомобиля указано $\varepsilon = 12\ \text{V}$, его внутреннее сопротивление $r \approx 0.02\ \Omega$. Стартер потребляет $I = 250\ \text{A}$ примерно $1.5\ \text{s}$. Напряжение на клеммах в момент запуска: $U = 12 - 250 \times 0.02 = 12 - 5 = 7\ \text{V}$. Именно это падение на $5\ \text{V}$ заставляет фары тускнеть, а подсветку приборов мигать; внутри аккумулятора $P = I^2 r = 1250\ \text{W}$ нагревает пластины. Когда всё выключено и тока нет, вольтметр на клеммах показывает $U \approx \varepsilon = 12\ \text{V}$, потому что $I = 0$.

Здесь различаются показание вольтметра при разомкнутой цепи ($I = 0$, прибор показывает $\varepsilon$) и напряжение на клеммах под нагрузкой $U = \varepsilon - Ir$; видно и то, что теряемая мощность $I^2 r$ растёт как квадрат тока — поэтому стартерный ток в сотни ампер так важен.

Батарея электровелосипеда рассчитана на $\varepsilon = 36\ \text{V}$ при внутреннем сопротивлении $r = 0.3\ \Omega$ (внутри много элементов, соединённых последовательно и параллельно). На крутом подъёме контроллер мотора берёт $I = 15\ \text{A}$. Напряжение на клеммах падает до $U = 36 - 15 \times 0.3 = 31.5\ \text{V}$: в мотор уходит $UI = 472.5\ \text{W}$, а $P = I^2 r = 67.5\ \text{W}$ греет батарею. На ровной дороге тому же велосипедисту нужно всего $I = 3\ \text{A}$, и $U = 36 - 0.9 = 35.1\ \text{V}$ — падение меньше $1\ \text{V}$, поэтому показания дисплея почти не меняются.

Сценарий проверяет зависимость $U = \varepsilon - Ir$ от тока нагрузки: один и тот же источник даёт разные напряжения на клеммах при $3\ \text{A}$ и при $15\ \text{A}$, а внутренняя потеря $I^2 r$ ограничивает мощность, которую вообще можно снять с батареи.