Электрическая работа, мощность и закон Джоуля–Ленца

Когда по проводнику идёт ток, электрическое поле совершает работу по переносу зарядов. Если за время $t$ через поперечное сечение проходит заряд $q = It$ при напряжении $U$, то работа тока равна $A = UIt.$ Мощность — это работа в единицу времени: $P = \frac{A}{t} = UI,$ а с учётом закона Ома $U = IR$ (или $I = U/R$) её удобно переписать в двух других формах: $P = I^2R = \frac{U^2}{R}.$ В неподвижном металлическом проводнике вся эта работа переходит во внутреннюю энергию, то есть в теплоту, поэтому $Q = A = I^2Rt$ — это и есть закон Джоуля–Ленца. В двигателе, аккумуляторе или зарядном устройстве часть энергии превращается в полезную работу, так что полезная мощность меньше полной, а разность $P - P_{\text{полезн}}$ рассеивается в виде теплоты. Работа измеряется в джоулях ($1\ \text{Дж} = 1\ \text{В}\cdot\text{А}\cdot\text{с}$), а бытовое потребление энергии удобно считать в киловатт-часах: $1\ \text{кВт}\cdot\text{ч} = 3{,}6\cdot 10^{6}\ \text{Дж}$.

Электрический чайник работает при напряжении $U = 220$ В, сила тока в нём $I = 5{,}0$ А, время работы $t = 120$ с. Найдите мощность чайника и работу тока за это время.

Нагревательный элемент сопротивлением $R = 24$ Ом включён в цепь, сила тока в нём $I = 2{,}5$ А. Какое количество теплоты выделится в элементе за $t = 5{,}0$ мин? Какова его мощность?

Электродвигатель подключён к сети напряжением $U = 220$ В и потребляет ток $I = 3{,}5$ А. Его КПД $\eta = 0{,}85$. Найдите полезную механическую мощность и количество теплоты, выделяющееся в двигателе за $t = 1{,}0$ мин (считайте, что все потери — тепловые).

Безопасный план самостоятельной работы (не разбирайте приборы, не касайтесь сетевых проводов и розеток, не собирайте самодельные цепи под напряжением 220 В):

1. Паспортные данные. Составьте таблицу для трёх бытовых приборов: название, мощность $P$ с шильдика (таблички на корпусе), типичное время работы $t$ за сутки.
2. Расчёт энергии. Для каждого прибора вычислите $A = Pt$, переведите в киловатт-часы по $1\ \text{кВт}\cdot\text{ч} = 3{,}6\cdot 10^{6}\ \text{Дж}$ и оцените суточное потребление. Сравните приборы между собой: во сколько раз больше энергии тратит самый мощный?
3. Симуляция. В виртуальной лаборатории (PhET «Электрические цепи» или аналогичной) соберите цепь из источника, резистора и амперметра с вольтметром. Измерьте $I$ и $U$ при двух разных сопротивлениях, вычислите $P = UI$ и сравните с $I^2R$; затем удвойте ток при том же $R$ и убедитесь, что мощность выросла в 4 раза.
4. Вывод. Запишите в тетради, в каком случае формула $Q = I^2Rt$ описывает всё потребление энергии прибора, а в каком — только её часть.

Показать, что в чисто активном сопротивлении вся работа тока превращается в теплоту ($A = Q$), тогда как в двигателе на теплоту идёт лишь доля $(1-\eta)$ энергии, и что при неизменном $R$ выделяемая мощность растёт как квадрат силы тока.

Схема из двух панелей.

Слева — диаграмма потоков энергии (в стиле Санкей): блок «электрическая энергия $A = UIt$», от которого широкая стрелка идёт к блоку «внутренняя энергия, теплота $Q = I^2Rt$» с подписью $Q = A$ (резистор). Ниже — уменьшенный вариант для двигателя: поток разделяется на широкую стрелку «полезная работа $A_{\text{полезн}} = \eta A$» и узкую стрелку «тепловые потери $(1-\eta)A$».

Справа — график зависимости $Q$ от $t$: прямая, выходящая из начала координат, с угловым коэффициентом $P = I^2R$; рядом пунктиром второй график для удвоенного тока той же цепи — он в 4 раза круче, что иллюстрирует квадратичный рост.

Чайник включён в сеть с напряжением $U=220\ \text{В}$, его нагревательный элемент имеет мощность $P=2\ \text{кВт}$, значит через него идёт ток $I=P/U=2000/220\approx9{,}1\ \text{А}$. За $t=4\ \text{мин}=240\ \text{с}$ ток совершает работу $A=UIt=220\cdot9{,}1\cdot240\approx480\ \text{кДж}$; при $c=4200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot^{\circ}\text{C})$ этого хватает, чтобы нагреть $1{,}5\ \text{л}$ воды примерно на $76\ ^{\circ}\text{C}$.

Здесь работа тока считается по $A=UIt$, а мощность — по $P=UI$. Сопротивление спирали $R=U^2/P\approx24{,}2\ \text{Ом}$ переводит ту же мощность в джоулеву форму $P=I^2R$, и закон Джоуля–Ленца $Q=I^2Rt$ показывает, что почти вся работа тока превращается в тепло именно в спирали, а не в подводящих проводах.

Зарядное устройство даёт $U=5\ \text{В}$ при токе $I=2\ \text{А}$, то есть мощность $P=UI=10\ \text{Вт}$. Батарея ёмкостью $4000\ \text{мА}\cdot\text{ч}$ при напряжении $3{,}7\ \text{В}$ хранит $W=3{,}7\ \text{В}\cdot4\ \text{А}\cdot\text{ч}=14{,}8\ \text{Вт}\cdot\text{ч}\approx53\ \text{кДж}$. Полная зарядка занимает около $2\ \text{ч}=7200\ \text{с}$, и за это время сеть отдаёт $A=UIt=10\cdot7200=72\ \text{кДж}$.

Это прямой расчёт работы тока $A=UIt$ и мощности $P=UI$ за длительное время. Разница $72-53\ \text{кДж}$ уходит на нагрев телефона и потери в преобразователе, то есть КПД зарядки $\eta=53/72\approx0{,}74$; часть этой мощности рассеивается по закону Джоуля–Ленца, поэтому корпус теплеет.

Двигатель троллейбуса работает при $U=600\ \text{В}$ и токе $I=200\ \text{А}$, значит его мощность $P=UI=120\ \text{кВт}$, а за $t=30\ \text{с}$ совершается работа $A=Pt=3{,}6\ \text{МДж}$. Ток идёт по контактному проводу и рельсам, общее сопротивление которых $R\approx0{,}34\ \text{Ом}$, поэтому в них по закону Джоуля–Ленца выделяется $P_{\text{пот}}=I^2R=200^2\cdot0{,}34\approx13{,}6\ \text{кВт}$ — около $11\,\%$ мощности двигателя.

Одна и та же мощность записана двумя способами: $P=UI$ для полезной работы двигателя и $P=I^2R$ для бесполезного нагрева провода. Это и есть содержание закона Джоуля–Ленца: при заданном токе потери растут как квадрат тока, поэтому в линиях передачи поднимают напряжение и снижают ток.