Поток напряжённости и теорема Гаусса

Кулоновский закон даёт поле точечного заряда, а принцип суперпозиции позволяет складывать поля нескольких зарядов. Поток напряжённости $\Phi_E$ через поверхность измеряет, сколько поля «пронизывает» эту поверхность: для малой площадки $d\Phi_E=\vec E\cdot d\vec A$, а для конечной поверхности $\Phi_E=\int \vec E\cdot d\vec A$. Для однородного поля и плоской площадки $\Phi_E=E A\cos\theta$, где $\theta$ — угол между вектором $\vec E$ и нормалью $\vec n$ к площадке. Теорема Гаусса утверждает, что поток через замкнутую поверхность равен $\oint \vec E\cdot d\vec A = Q_{\text{внутр}}/\varepsilon_0$; заряд вне поверхности не меняет этот поток. Знак потока определяется выбором внешней нормали: выходящее поле даёт положительный поток. Симметрия задачи — сферическая, цилиндрическая или плоская — часто позволяет заменить интеграл простым умножением и найти поле из $Q_{\text{внутр}}$.

Однородное электрическое поле $E=200\,\mathrm{N/C}$ проходит через плоскую площадку $A=0.50\,\mathrm{m^2}$. Нормаль к площадке составляет угол $\theta=60^\circ$ с вектором $\vec E$. Найдите поток напряжённости через площадку.

Точечный заряд $Q=+2.0\,\mu\mathrm{C}$ находится в центре сферической поверхности радиуса $r=0.10\,\mathrm{m}$. Найдите поток напряжённости через эту замкнутую сферу и модуль напряжённости поля на её поверхности. Используйте $\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\,m^2)}$.

Куб со стороной $a=2.0\,\mathrm{m}$ расположен в первом октанте так, что одна вершина в начале координат, а рёбра направлены вдоль осей $x$, $y$, $z$. В этой области поле задано как $\vec E = (5x)\,\hat i\ \mathrm{N/C}$, где $x$ выражено в метрах. Найдите полный поток через куб и заряд внутри куба, соответствующий этому потоку по теореме Гаусса. Используйте $\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\,m^2)}$.

Безопасное самостоятельное исследование выполните в онлайн-симуляции электростатики, например PhET «Charges and Fields» или «Gauss's Law», либо на бумаге с электронной таблицей. Поместите виртуальный точечный заряд $+1\,\mathrm{nC}$ в центр и мысленно или инструментом постройте сферическую гауссову поверхность радиуса $r$. Запишите модуль поля $E$ на поверхности, вычислите $E\cdot 4\pi r^2$ и сравните с $Q/\varepsilon_0$. Повторите для $r=1,2,3$ условных единиц и убедитесь, что поток не зависит от радиуса. Затем добавьте второй заряд вне сферы и проверьте, что поток через сферу не меняется. Не используйте реальные высоковольтные источники или домашнюю электросеть.

Показать, что поток — это проекция площади на направление поля, и проиллюстрировать, почему теорема Гаусса связывает полный поток только с зарядом внутри замкнутой поверхности.

Двухпанельный схематический рисунок. Слева: однородное поле изображено параллельными стрелками $\vec E$, наклонная площадка $A$ с нормалью $\vec n$ и углом $\theta$; штриховкой показана проекция $A\cos\theta$, через которую проходят линии поля. Справа: замкнутая сферическая поверхность вокруг заряда $+Q$, внешние нормали $d\vec A$ в нескольких точках и радиальные линии поля; рядом написано $\oint \vec E\cdot d\vec A = Q_{\text{внутр}}/\varepsilon_0$.

Экран телефона площадью $A=0.012\,\text{m}^2$ после трения в кармане получает однородную поверхностную плотность заряда $\sigma=5.0\times10^{-6}\,\text{C/m}^2$. Гауссов параллелепипед с одной гранью сразу снаружи экрана и одной сразу внутри охватывает заряженный участок. Охваченный заряд равен $Q=\sigma A=(5.0\times10^{-6})(0.012)=6.0\times10^{-8}\,\text{C}$.

Теорема Гаусса даёт поток через замкнутый параллелепипед: $\Phi_E=Q/\varepsilon_0=(6.0\times10^{-8})/(8.85\times10^{-12})\approx6.8\times10^3\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$. Из симметрии поле сразу снаружи тонкой заряженной пластины равно $E=\sigma/(2\varepsilon_0)\approx2.8\times10^5\,\text{N/C}$. Здесь тренируется выбор гауссовой поверхности и связь потока с охваченным зарядом.

Изолированный зарядный кабель электробуса имеет однородную линейную плотность заряда $\lambda=2.0\times10^{-6}\,\text{C/m}$. Цилиндрическая гауссова поверхность радиусом $r=1.5\,\text{m}$ и длиной $L=10\,\text{m}$ соосна кабелю. Охваченный заряд равен $Q=\lambda L=(2.0\times10^{-6})(10)=2.0\times10^{-5}\,\text{C}$.

Теорема Гаусса даёт $\Phi_E=Q/\varepsilon_0=(2.0\times10^{-5})/(8.85\times10^{-12})\approx2.3\times10^6\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$. Радиальное поле при $r=1.5\,\text{m}$ получается как $E=\lambda/(2\pi\varepsilon_0 r)\approx2.4\times10^4\,\text{N/C}$. Пример использует цилиндрическую симметрию и тот факт, что поток через кривую поверхность равен $E(2\pi rL)$.

Грозовое облако имеет суммарный заряд $Q=-20\,\text{C}$, сосредоточенный в некоторой области. Сферическая гауссова поверхность радиусом $R=1500\,\text{m}$ центрирована на этой области. Охваченный заряд равен $Q=-20\,\text{C}$; поток одинаков для любой сферы, охватывающей этот заряд.

Теорема Гаусса даёт $\Phi_E=Q/\varepsilon_0=(-20)/(8.85\times10^{-12})\approx-2.3\times10^{12}\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$. При сферической симметрии модуль поля на расстоянии $R=1500\,\text{m}$ равен $E=|Q|/(4\pi\varepsilon_0 R^2)\approx8.0\times10^4\,\text{N/C}$. Пример показывает, что поток зависит от охваченного заряда, а не от радиуса выбранной гауссовой сферы.