Электрическое поле и разность потенциалов: связь через работу поля

Вектор напряжённости $\vec E$ в точке равен силе, действующей на единичный положительный заряд, а потенциал $\varphi$ равен потенциальной энергии единичного положительного заряда в этой точке. Разность потенциалов $U=\varphi_1-\varphi_2$ между двумя точками равна работе поля при переносе единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. Для заряда $q$ работа поля равна $W=q(\varphi_1-\varphi_2)$ и не зависит от формы траектории, потому что электростатическое поле потенциально (консервативно). В однородном поле потенциал убывает вдоль $\vec E$ линейно, поэтому $U=Ed,$ где $d$ — смещение вдоль силовой линии. В общем случае локальная связь задаётся производной: $E=-\Delta\varphi/\Delta r$ (в пределе $E=-d\varphi/dr$), поэтому $\vec E$ направлено в сторону наибольшего убывания потенциала и перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям.

Однородное электрическое поле имеет напряжённость $E=200\ \text{В/м}$ и направлено от пластины A к пластине B. Расстояние между пластинами $d=5.0\ \text{см}$. Найдите разность потенциалов $U=\varphi_A-\varphi_B$ и работу поля при перемещении заряда $q=+3.0\ \text{мкКл}$ от A к B.

Точечный заряд $Q=+2.0\ \text{мкКл}$ закреплён в вакууме. Найдите работу его поля при перемещении заряда $q=+1.0\ \text{нКл}$ от расстояния $r_1=0.10\ \text{м}$ до $r_2=0.30\ \text{м}$ от $Q$. Используйте $k=9.0\times10^9\ \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2$.

В некоторой области потенциал равен $\varphi(x,y)=300x-200y$ (вольты, $x$ и $y$ в метрах). (a) Найдите вектор $\vec E$. (b) Найдите силу, действующую на заряд $q=-2.0\ \text{мкКл}$. (c) Найдите работу поля при перемещении этого заряда из $(0,0)$ в $(1.0,0)$ м и из $(0,0)$ в $(0,1.0)$ м.

Безопасный план самостоятельного моделирования: используйте симуляцию электрического поля (например, PhET «Charges and Fields» или аналогичную). Не используйте высокое напряжение из сети. 1) Поместите два точечных заряда и включите сетку и датчик потенциала. 2) Отметьте 5–6 точек вдоль линии между зарядами и запишите потенциал $\varphi$ в каждой точке. 3) Вычислите среднее $E\approx-\Delta\varphi/\Delta r$ на двух соседних участках и сравните направление с изображёнными стрелками поля. 4) Включите режим эквипотенциальных линий и убедитесь, что они перпендикулярны стрелкам $\vec E$. 5) Для однородного поля между параллельными пластинами измерьте $\varphi$ на двух линиях, найдите $U$ и проверьте $U=Ed$. Запишите результаты в таблицу и сделайте вывод о связи поля и разности потенциалов.

Показать, что разность потенциалов равна работе поля на единицу заряда, а эквипотенциальные поверхности перпендикулярны силовым линиям.

Схема: две параллельные пластины, между ними равномерно расположенные стрелки $\vec E$ от положительной пластины к отрицательной; две штриховые эквипотенциальные плоскости, перпендикулярные стрелкам, обозначены $\varphi_1$ и $\varphi_2$ ($\varphi_1>\varphi_2$); расстояние $d$ отмечено вдоль силовой линии; рядом формулы $U=\varphi_1-\varphi_2=Ed$ и $W=qU$.

Перед разрядом молнии напряжённость поля в воздухе между нижней частью грозового облака и землёй достигает примерно $E = 3\times10^{6}\ \text{V/m}$ (при такой напряжённости воздух пробивается). Если облако находится на высоте $d = 100\ \text{m}$ над землёй, то разность потенциалов между облаком и землёй равна $U = E\,d = 3\times10^{6}\cdot100 = 3\times10^{8}\ \text{V}$. Разряд переносит заряд около $q = 5\ \text{C}$, и поле совершает работу $A = qU \approx 5\cdot3\times10^{8} = 1{,}5\times10^{9}\ \text{J}$ за время порядка $10^{-4}\ \text{s}$; средняя мощность вспышки получается $10^{13}\ \text{W}$, поэтому большая часть энергии уходит в нагрев воздуха и гром.

Здесь работают обе формулы теории: $E = U/d$ для (приближённо) однородного поля даёт переход от напряжённости к напряжению, а $U = A/q$ — определение разности потенциалов как работы поля на единицу переносимого заряда.

На корпусе повербанка написано $3{,}7\ \text{V}$ и $3000\ \text{mA}\cdot\text{h}$. Переведём заряд: $q = 3\ \text{A}\cdot3600\ \text{s} = 10800\ \text{C}$. Тогда запасённая энергия равна $A = qU = 10800\cdot3{,}7 \approx 4{,}0\times10^{4}\ \text{J}$, то есть около $40\ \text{kJ}$ — этого хватает примерно на три полных заряда телефона. На каждый перенесённый кулон приходится $3{,}7\ \text{J}$, а при быстрой зарядке от сети $5\ \text{V}$ на тот же кулон приходится уже $5\ \text{J}$.

Сценарий прямо упражняет связь $U = A/q$: напряжение — это энергия, приходящаяся на единицу заряда, поэтому ёмкость в $\text{C}$ умножается на вольты и даёт джоули. Сравнение $3{,}7\ \text{V}$ и $5\ \text{V}$ показывает, что большее напряжение при том же заряде означает большую работу.

Зарядная станция постоянного тока даёт напряжение $U = 400\ \text{V}$ и мощность $P = 100\ \text{kW}$. За полчаса ($t = 1800\ \text{s}$) батарея получает энергию $A = P\,t = 1{,}0\times10^{5}\cdot1800 = 1{,}8\times10^{8}\ \text{J}$, то есть $50\ \text{kW}\cdot\text{h}$. Через кабель при этом проходит заряд $q = A/U = 1{,}8\times10^{8}/400 = 4{,}5\times10^{5}\ \text{C}$, а на каждый кулон приходится $400\ \text{J}$ работы зарядного поля.

Используется определение разности потенциалов через работу: $U = A/q$, откуда $q = A/U$ и $A = qU$. Сопоставление с аккумулятором телефона ($3{,}7\ \text{V}$) показывает, что одна и та же перенесённая единица заряда даёт тем больше энергии, чем больше напряжение между клеммами.